硫化物の沈殿

よくある話ですが,CuS は酸性条件下でも沈殿するが,ZnS は中・塩基性条件下でないと沈殿しない事を理論的に検証してみましょう.

以下,M を2価の金属とします.
MSKsp.jpg
これにより,
 Ksp が小さい場合,右辺は大きくなるのでより大きな [H+] (酸性下)でも沈殿が生じ,
 Ksp が大きい場合,右辺は小さくなるのでより小さな [H+] (中・塩基性)でないと沈殿が生じない

と考えられます.
金属に関わらず,[H+] を下げれば下げる(pH を上げれば上げる)程,沈殿し易くなる事も分かりますね.

後は,フォトサイエンス等の図録(図説)の巻末の数値を参照してみましょう.
色々な金属についてエクセルで計算してみるのも面白いでしょう.

余談ですが,n価の金属を M とすると,M(NO3)n, M2(SO4)n, M2(CO3)n 等と置けます.この置き方は時々重要.

人生詰みました

労働基準法により1日8時間労働というのは定められているのに就職面接でこの事について口論になり落とされます.法律を守らないのは先方の方なのに.そういったクソ企業はどんどんと名指しで晒す事により社会的制裁を与えようかと思ったのですが・・・.

とにかく私は曲がった事が大嫌いで労働基準法を守れない企業はこちらから願い下げなのです.しかし,内定を頂いた事が1度もありません.

間違った事ばかりが横行する世の中で良いのでしょうか?

もう私は死ぬしか無いのでしょうか?

自衛隊は身長・年齢制限で入れなくても有事の際には動員を強制してきそうですから,日本という国家はクソでしょう.

ラグランジュの恒等式について

実はラグランジュの恒等式は次の様な意味を持ちます.
lagko0.jpg
証明する為にごちゃごちゃと成分計算をする必要は無いのです.

[証明]
lagko.jpg
この様な説明をしている参考書が全く無いのは驚きです.

2次,3次の場合を挙げて置きましょう.

2次の場合(これはブラーマグプタの二平方恒等式ともいう),
lagko2.jpg
3次の場合,
lagko3.jpg
cf. 単なるベクトル積(外積)の計算の時は,2項目の符号に気を付けましょう.

水酸化カドミウムの溶解度積の問題

溶解度積の問題で要注意な問題があったので,取り上げてみました(三重大を改題).
水酸化カドミウム(Cd(OH2)) の溶解平衡です.見慣れない近似を使います.

Cd2+, OH- の初濃度をそれぞれ,a[mol/l], b[mol/L] とします.
普通に解こうとすると解けません.
CdOH2failed.jpg

そこで,次の様に場合分けしますが,落とし穴が有ります.溶解度積 Ksp の式を立てる所で,バランスシートから 0 を代入したくなりますが,そうしてはいけません.
CdOH2_2A.jpg
CdOH2_B.jpg
場合ii) は,水素イオン濃度だけ求めれば良い場合,[Cd2+] を求める必要は無いですね.

3次方程式が解けないのと a,b>>Ksp などからこの近似を使わないといけないのでしょう.
硫化物の沈殿の問題では,この近似を使ったら OUTな様です.

原題は,『特ゼミ 三國の化学』の Ex. 46 に有ります.

目で解く予選決勝法

A,B,a≥0, c≤α≤x≤β, γ≤aα+b≤δ≤aβ+b, γ≤y≤δ という条件の下,
 F(x,y)=A{y-(ax+b)}2+B(x-c)2+C の最大値・最小値
を考えます.
(注) γ(ガンマ)とy(ワイ)が画面上では似ているので間違えないで下さい.

図形的に,
 Pは次図の斜線部の長方形の(辺上を含む)内部を動き
 F(x,y)は直角三角形PHIの斜辺HIの長さ
を表している事が読み取れるでしょうか? (注: HIそのものでは無いが・・・)
yosenkessho.jpg
すなわち,F(x,y)=A・PH2+B・PI2+C となりますね.
後は,Pを動かして,

最小値は,P=PMIN(=H) の時(下図参照),
yosenkesshoMIN.jpg

最大値は,P=PMAX の時(下図参照).
yosenkesshoMAX.jpg

ゆえに,
 F(α,aα+b)≤F(x,y)≤F(β,γ).

(実は,yやγ,δの条件等は最初に挙げた以外でも良いかもしれないが,ややこしい面倒くさいので考えない事にした.A,B,a等の符号が違う場合でも図形的な考えが効くかもしれません.)

1992年度(平成4年度)東大数学理系第6問

いわゆるジャンケングリコというゲームですが,答えだけならすぐ出せる裏ワザが有ります(これも私が世界初(?)).

グリコの文字数は,3.
チョコレイトの文字数は,5 (題意より,チョを1文字とした).
パイナップルの文字数は,6.
全文字数は,3+5+6=14.
ゆえに,
 グリコはチョコレイトに勝つので,5/14,
 チョコレイトはパイナップルに勝つので,6/14(=3/7),
 パイナップルはグリコに勝つので,3/14,
の確率で出せば良い.

合同式を使ってみよう [京大編]

2006年度京都大前期理系第4問
「n≥2 ∧ { n,n2+2∈(素数)} ⇒ n=3 を示す」

[解答]
 3を法とする.
i) n≡0 の時,
 n=3, この時,n2+2=11 となり,いずれも素数である.
ii) n≡±1 の時,
 n2+2≡0 であるから,n2+2=3 ⇔ n=1 ≱ 2.
以上より,題意成立. □

「3の平方剰余が 0,1だけである」事を利用する問題は結構な割合で有るので覚えて置いた方が良いでしょう.

(α+1)(β+1)(γ+1) の展開

 (x-α)(x-β)(x-γ) = x3 -(α+β+γ)x2 +(αβ+βγ+γα)x -αβγ
なので,x=-1 と置いて両辺に (-1) を掛ける事で,
 (α+1)(β+1)(γ+1) = αβγ +αβ+βγ+γα +α+β+γ +1
と計算出来ます.

ア〇リカという国

無条件で高評価するのは止めましょう.

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字は,速く書く vs きれいに書く

字がきれいに書ける様に矯正する本は,安いものだと「知的生き方文庫」等の文庫本等が有りますので,字が汚い人は矯正してみるのも良いのでは無いでしょうか?

試験において重要なのは読める字で速く書く事です.速さときれいさは逆比例するのでそこの所の折り合いを研究しておきましょう.

複素数平面上における反転構造

complexHanten.jpg
この様にすっきりとした形で表せます.

過去記事の複素数平面のまとめ -> やっつけ複素数平面 <- (注) 記事が間違いだらけでしたm(_ _)m
間違いはよく間違えるポイントでも有るのでそのまま残して置きます.

合同式を使ってみよう [東工大編]

「19n+(-1)n-1・24n-3 が 7の倍数である事を示す」問題(東工大)が有るのですが,合同式を使うと答案が非常に簡単になります.

7を法とすると,
  19n+(-1)n-1・24n-3
≡(-2)n+2・(-1)n-1・24(n-1)
≡(-2)n+2・(-16)n-1
≡(-2)n-(-2)・(-2)n-1
≡(-2)n-(-2)n
≡0 □

多くの問題集に載っている問題ですが,合同式で解答しているものは確か無かったです.範囲外だったから意図的に避けていただけだとは思いますが・・・.

2014年度東大数学について(簡単な感想)

行列が出て来ましたね.しかも2問も.
第1問,平行四辺形の面積はdeterminant(行列式)の絶対値であるから,行列でした.
第3問(2)の 2|x1y2-x2y1|,これもまさにdeterminant(行列式)の絶対値であるから行列でした.図形的には平行四辺形の面積の2倍です(或いは法線ベクトルの長さの2倍).

行列が出なかったと言っている人は勉強不足です.

正四面体・正八面体を折ってみよう

こちらのサイトに折り方が載っています.
-> http://space.geocities.jp/senkhr/sen/mathematics/seitamentai/index.htm

仕上がりが元の紙に比べて非常に小さくなるので,出来るだけ大きな紙(例えばA3のコピー用紙等)で折ってみると良いです.
又,最初の工程は紙を正六角形に切り取る作業ですから,サイトでの記述に従わずに定規や分度器を使ってなるべく正確になる様にすると仕上がりが美しくなります.

余談ですが,立方体の4つの角を切り取ったものが正四面体となり,正四面体の4つの角を切り取ったものが正八面体になります.

私のブログの更新の仕方

同じ様な Weblogを作ろうとしている方に参考になるかどうか分かりませんが,手書きの画像は B5の用紙を短い方を半分に折ってその中に収まる様に書いてスキャナでグレースケールの下,スキャンしています(古い記事でカラーでスキャンしてしまった為に紙のシワが目立っているのがある).そしてペイントなり,リサイズ超簡単!Proなりで縦横比を維持しながら40%に縮小します.そしてペイントで1つ1つトリミングをしていきます.
稀に画像を結合させたりしたい時にはJTrimも使います.JTrimやリサイズ超簡単!Proで保存する時は画像劣化が気になるので品質は100% にしています.但しペイント以外のソフトでは,何故か100% でも画像が劣化する様です.

又,どういうわけかスキャナはプレビューを表示させた状態でスキャンしないときれいに出来ません.

単振動における換算質量や胴上げ後の振幅

物体系の単振動の周期や角振動数は換算質量を使えば簡単に求まります.わざわざ重心上に観測者を置く必要は有りません.
kanzanTanshindo.jpg
重心上に観測者を置く方法では,
 1. 図を書くのに時間が掛かり,スペースも必要
 2. ばね定数の再計算で繁分数が出て来て間違え易い

といったデメリットが有るので,減点されるとしてもその浮いた時間で他の問題に対処出来る時間が増え,総合点が上がるのであれば,換算質量のテクニックを使うのは検討に値するのでは無いでしょうか? 振幅も外部から見たエネルギー保存則でばねの最大伸び縮みを調べてそれを質量比で比例配分すれば良いでしょうし・・・.

もう1つ,単振動の振幅は適当な位置における変位と速度が与えられれば求まる事を示して置きます.
shinpukuX.jpg
自分でやってみて答えが大体この様な形になるという事を覚えていれば見通し良く解答出来るでしょう(むしろ初見だとほぼ確実に計算を間違える).
xc=mg/k, mgsinθ/k 等となっている場合が多い.

特に,胴上げ問題やベルトコンベア上の単振動において振幅を求めたい時に使われます.エネルギー保存則を,
・胴上げ問題で「1物体が離れた点」と「端点」との間
・ベルトコンベア上の単振動で「滑り始めた点」と「端点」との間
で立てる事が多い.

(分数)-(分数) において近似式禁止令

物理において,(分数)-(分数) における近似は正規の方法でやると,間違え易い上に時間も掛かります.
裏ワザ的なやり方として,
 "通分して計算し,
  分子は2次以上の微小量をカットし,分母は微小量をカットする"

だけで良いのです.

近似式全般については,最近私が集中的にやっている究める物理の巻末に近似式がまとまっているので,お薦めです.おそらく暗算で出来るぐらいにならないと実力UPは望めないでしょうね.

キャパシター(コンデンサー)の漸化式

キャパシター(コンデンサー)の電気容量を文字で一般化して漸化式を立てて解いてみました.計算量がそこそこだったので試験に出るおそれも有るでしょう.

最初の V1 の仮定の仕方がとても大事で唯一"電位の必殺技"を使うと泥沼に陥るパターンです.
Crecur1.jpg

Crecur2.jpg

Crecur3.jpg


漸化式を立てずに一気に V を求める方法は,次の通り;
CrecurInf.jpg

[参考記事]
キャパシター(コンデンサー)のスイッチ切り替え問題のまとめ

Nスリットの解析

【注】 微妙なのでこちらも参照してください.-> http://denofhardworking.blog.fc2.com/blog-entry-451.html#more

究める物理の例題16に有る様なnスリットのグラフについては次の事を知ってさえいれば書けると思います.
N-slitResult.jpg
今回は暗条件を導出してみました.但し,結果は適用出来ますが,途中経過が合っている保証は有りません(色々と調べてみたが,きちんと記述しているものが無かった).

では,行きますよ.
N-slitFig.jpg
N-slitA.jpg
sinやcosの和は,こちらの過去記事の最後の方に有る様に公式として覚える価値があると思います.

では,これから暗条件を導きます.
N-slitDark.jpg

やや明るい条件の導き方はよく分からないですね.

結論(再掲):
N-slitResult.jpg


それから,究める物理同例題には単スリットのグラフの設問もありますが,次の事を知って置けば書けるでしょう.
singleSlitI.jpg
※ 極大値における光の明るさです.
こちらはNスリットと違い,横軸は全範囲について成り立つ.

究める物理例題4別解

究める物理例題4(3)の別解を発見しました.こちらの方が明快でしょう.
kiwameru4.jpg
これぐらいであれば,既に見つけている人がいるだろうとは思いますが,一応公表したのは私が世界初・・・かなあ?

例題3なども回転行列を使う等,まだまだ沢山別解が有りそうですね.

酸化還元半反応式の隠されたポイント

酸化還元半反応式は化学の試験で度忘れしやすいポイント No.1 だと言えるでしょう.多くの参考書には,最初に e- を書くか,H+, H2O で調節するか若干の流儀の違いこそあれ,作り方のポイントが載っています.受験生はそれを理解する.しかし,それだけで良いのでしょうか?
今回は酸化還元半反応式についてもう少し突っ込んだ考察をしてみようと思います.

[酸化剤]
定義に立ち戻ると,酸化剤というのは O を相手に与えます.ズバリ O が全て取れない反応に注意すべきです.後は,取れた O に対し,H+ の数, e- の数という順で機械的に調整していけば良いでしょう.(H+ の係数)(e- の係数)
液性が問題となる反応では,まず酸性下での反応を考えて両辺に nOH-(n は左辺の H+ の係数)を足し,H2O がキャンセルされる.
金属・ハロゲン以外の酸性下では H+ と e- の係数が等しい事も知って置くとスピードアップが図れるでしょう.

[還元剤]
お手持ちの参考書をよく見てみましょう.ズバリ SO2 以外左辺の項は 1つしかないことがポイントです(SO2 から SO42- へと増えた O の数は 2H2O で調節する).
アルカリ金属と Fe 以外,右辺の e- の係数が 2 というのも重要なポイントです(むしろ Fe の e- の係数が 1 というのが重要).


価数は良く出て来る滴定問題を解いていれば自然に覚えてしまうでしょう.
その他の重要ポイントとして,これが最大のポイントかもしれませんが,相手によって働きが変わるのは, H2O2SO2.酸化数直線を書いてみると良い.
個々の半反応において酸化還元の定義である電子の授受や O や H の授受に当てはまっているかどうかをイメージする事も記憶の補強につながる.

数学の試験直前に確認すべきもの

断トツで三角関数の積和公式・和積公式でしょう.tan(θ/2)=t の置換は加法定理と直角三角形を書く方法を知っていればそれほど苦にはなりません.積和公式・和積公式も加法定理から導けるのですが,そうするのに書くスペースや時間が少し掛かるので,覚えた方が早いと思います.

確認するとは言っても,次の様な形で書けば十分です(試験中に問題用紙の余白に書く場合にも言える).
※ タイプする都合上,/(スラッシュ)を使っているが,手書きでは使わない.

 <積和>
sαcβ = (1/2){sα+β+sα-β}
cαsβ = (1/2){sα+β-sα-β}
cαcβ = (1/2){cα+β+cα-β}
sαsβ =(-1/2){cα+β-cα-β}

 <和積>
sα+sβ = 2s(α+β)/2c(α-β)/2
sα-sβ = 2c(α+β)/2s(α-β)/2
cα+cβ = 2c(α+β)/2c(α-β)/2
cα-cβ =-2s(α+β)/2s(α-β)/2

sin + sin は物理の波の式で多発するので cos から書く癖も付けておくと良い.

有機化学の3大反応の覚え方

高校の有機化学でやや難しい反応式と言えば,
 1. ヨードホルム反応
 2. アルコールやアルデヒドの酸化反応
 3. アニリンの生成反応

が挙げられるでしょう.今回はそれらについて解説したいと思います.

 1. ヨードホルム反応
置換・中和などが組み合わさった反応です.まず,その仕組みは理解します.そこから理論的に導く方法を解説している本やサイトもあるのですが,係数を覚えてしまうのが1番早いですし,確実でしょう.a. アルデヒドからのパターン b. アルコールからのパターンが有りますが,まずは何が反応して何が生成するかは覚えてしまいます.次に,Cが付いているものは,反応物,生成物ともに係数は1,これも覚える.

a.アルデヒドからのパターン
Cが付いているもの以外の係数は,"3433",すなわち,"文字通り3が3つで3個取ったら3倍WAK! WAK!".これで覚えられますね.
4が付くのは反応物の4NaOH(3NaIとRCO2Na生成の為に必要だから).
b. アルコールからのパターン
Cが付いているもの以外の係数は,"4655".語呂合わせは,"シロウ,GO! GO!".(4I2 + 6NaOH)


 2. アルコールやアルデヒドの酸化反応
過去記事: "炭素原子Cの酸化数の数え方" も参考に,段階的に,2e-電子は2個ずつ放出されるので酸化還元半反応式を作って足し合わせれば良い.


 3. アニリンの生成反応
係数2,3,14->2,3,4 をこちらのサイトの語呂合わせで覚える -> http://www.d2.dion.ne.jp/~hmurata/goro/yuuki.html
元ネタは,ダ・カーポでしょうね.


これら3大反応は,試験直前に確認すべき事項の内,優先順位が高い方です.

理科の試験直前に確認すべき事は,まず原子物理が範囲内であればボーア半径とボーアエネルギー準位(上記の語呂合わせサイト内に語呂合わせがある),次に,有機のこの3大反応と無機の両性金属や銀の反応や酸化還元半反応式や燃料電池(水の電解反応)の優先順位が高いでしょうね.

受験化学のお薦め動画

manavee の化学が意外にも標準電極電位やネルンストの式やpH指示薬や物質収支と電気的中性の条件(電荷条件)を使う平衡の難問などのマニアックな(難関を狙うなら常識にしておきたい)話題も扱っていて分かり易いのでお薦めです(YouTube上に有るのでPCから倍速で見るのがお薦め).

又お薦めの動画を発見したら紹介したいと思います.

μ-Tグラフ

化学ポテンシャルμ と絶対温度T のグラフは次の様になり,これからも沸点上昇や凝固点降下についてヴィジュアルに理解する事が出来ます.
myu-T.jpg
この図は大学別などのハイレベルな模試で出題されてもおかしくは無いでしょう(或いは既に出題された事がある?).

(sin x)^(-3) の積分法

分母が三角関数の3乗となっているものの積分法を解説したいと思います.

まず,分子が定数の場合は次の様にします.
integralSin-3x.jpg
(注) 最終行で降べきの順に並べ替えています.
私が経験した中では,tan(x/2) = t と置く事で楽になる唯一の例です.この置き方は以前特集しました
どうやら sin の負のべき乗で単項式(csc のべき乗)の場合はこの置き方が有効なようです.

cos の場合は,同じ置換法だと大変なので,sin の結果を利用します.
integralCos-3x.jpg
むしろ cos で出題されても sin の場合を考えての結果利用の方が早いと思います.

分母が3乗,分子が1乗のものは合成関数の積分法で瞬殺です.

分母が3乗,分子が2乗のものは次の様に式変形をします.
cos2xsin-3x.jpg
分子に三角関数の基本公式を適用して知っているものに帰着されたので解けますね.

sin と cos が入れ替わった場合も同様.
sin2xcos-3x.jpg

分母が2乗,4乗の三角関数となっている積分は以前特集しました.
 [関連する過去記事]
セカント,コセカント,コタンジェント
三角関数の積分の完成

【世界初】 2012年度東大数学理系第1問の図形的な意味!

2012年度東大理系数学第1問の最大値となる線分などに図形的な意味を見い出しました.

まずは,一般化して解いてみます.
2012uts1fig.jpg
PQ は,直線の式を持ち出さずとも接弦定理などから図形的に求まります.
2012uts1solve.jpg

PQ が最大となる時の k の図形的な意味を示します.
2012uts1figRJ.jpg
2012utsK.jpg

PQ が最大となる時の最大値の図形的な意味を示します.
2012uts1figPM.jpg
2012utsMax.jpg

これらを見い出したのは私が世界初です.市販の解答集には(予備校出版のものも含めて)載っていませんでした.受験生(その多くは未成年)相手にいい加減な商売をしているのだなあと改めて思いましたね.他のセンスが悪い解答も私が書き換えてやりたいぐらいです.

尚,r=1, m=√2, k=(√2)/3 としたものが実際の出題で,この時最大値は (√6)/3 となります.(1:√2:√3 の三角形が出て来るが,これは東大頻出三角形)

微積物理禁止令 (東大編)

2014年度の東大物理第1問力学でも微積分を使うと大変な事になる問題が出題されました.
但し,以下に示す様に,sin2θ のまま微分し,式変形を能率良く行えば,そこまで大変ではないかもしれません.しかし,最後に示す数値計算の方法と比べれば,微積分を使わない方が圧倒的に楽だという事が分かると思います.

以下,符号変化に関係ある部分だけ抜き出して s' と置き換えています.
todai2014Dynamics1.jpg
todai2014Dynamics2.jpg

微積分を使わない解答は次の通りです.
todai2014Dynamics3.jpg
アタリを付けて,有効数字1桁で計算する事で楽に求まるでしょう.

微積物理禁止令 (京大編)

これも又,難問題の系統とその解き方(難系)の演習に載っている問題ですが,京大の問題で微積分を使うと大変な事になりますので紹介しておきます.キャパシター(コンデンサー)が2つ,コイルが1つの電気振動です.

kyodaiCCL1.jpg
ここまでで回路方程式(微分方程式)の変形は終わりです.
これより周期 T が求まります.
kyodaiCCL2.jpg
次に振幅を求めます.q-tグラフを書いて求めてみましょう.
kyodaiCCL3.jpg
kyodaiCCL4.jpg
続けて,リード文終盤の「さらに・・・」以降です.
kyodaiCCL5.jpg
kyodaiCCL6.jpg

微積分を使わない場合,本に記載された通りエネルギー保存と電荷保存を使って解く事になりますが,計算量は少なくなります.但し,最後の問題で,V0 = Ldi/dt に気付かないとキツイです.微積分を使うと明快には解けますが,記号問題なので勘で答えて他の問題に時間を回した方が得策でしょう.

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微積物理禁止令 (名古屋大編後編)

ではコイルがつながった場合に移ります.

まずは,微積分を使った解答を示します.
nagoyaL1.jpg
nagoyaL2.jpg
nagoyaL3.jpg
nagoyaL4.jpg
やはり,これを答えとしてはいけません.
座標変換を行いますが,今度は上手い事変形しないと Blcosθ などが残ってしまいます.
nagoyaL5.jpg
「I3 も求めよ」とあるので求めます.
nagoyaL6.jpg
④を上手い事使わないと泥沼に陥ります.そもそも xc を消去して h3 を使って表した式に Blcosθ が残っていて答えとはならないから難しい.

微積分を使わない解答は以下の通りです.
nagoyaL7.jpg
微積分を使った解答とは違って先に I3 を求めないと v3 が求まらない事に気を付けさえすれば圧倒的に分量が少ない事がお分かりになると思います.
プロフィール

A6033x

Author:A6033x
数検1級取得しました.
個人的な連絡は,hermitvseinsiedler@_@gmail.com
まで(@_@は@に置換すること).
あまり見ないかも知れないのでその場合は twitter の方へ.
twitter:https://twitter.com/A603zw
そもそもネット接続自体減らして行く事になりますが...

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