tan の和積公式の図形的な意味

tan の和積公式
tanWaseki.jpg


tan の差積公式
tanSaseki.jpg


こんな事しなくても通分するだけで導けるじゃん? とか言われたら全力で泣こうと思います(;;)
逆に鋭角の場合の sin の加法定理の証明位には使えます.

cos36°, cos72°, sin36°, sin72° の値も記憶

以前,cos36°(=cosπ/5)の3通りの求め方 と題して,「1. 式変形,2. 2等辺3角形, 3. 複素数平面」 利用による求め方を紹介しました.我乍ら大昔の記事にしては良記事だと思います.

今回は,cos36°, cos72°, sin36°, sin72° の値は記憶してしまっても良いのでは無いかという話です.外内サイクロイド曲線の位置座標が公式と格上げされた今,これらの数値を覚える事は訳も無いでしょう.

まず,cos36°, cos72° の値です.

cos36_72.jpg

何と ±1 の違いだけしか無く非常に美しい対称性を成している事が分かるでしょう.特に 分母が 4 で有る事は絶対です.過去記事の様に導出する時に気を抜くと最後 2 のままにしてしまい間違える.
符号ですが,単位円を描けば,cos72°< cos36° が容易に分かるので間違える事も無いでしょう.

sin36°, sin72° の値ですが,

sin36_72.jpg

これは下図の弦の長さと関連付けて置きましょう.

A01234.jpg

crd72_144.jpg

sin36°, sin 72° の符号は単位円を描いても分かりますが,弦の長さの大小からも明らかです.

sin18° と sin 54° については,
 sin18°= sin(90°- 72°) = cos72°
 sin54°= sin(90°- 36°) = cos36°
と求めるのが速いでしょう.(半角等で求めようとすると 2重根号を外さないと行けない)

[オマケ] ( 以下,A1(z1) 等と置く.)
A0A1・A0A2・A0A3・A0A4 の値は,A0A1=A0A4, A0A2=A0A3 に値を代入して求めても良いのですが,
  z5 = 1
⇔ z5 - 1 = 0
∴ (z-1)(z-z1)(z-z2)(z-z3)(z-z4) = (z-1)(z4+z3+z2+z+1)
∴ A0A1・A0A2・A0A3・A0A4 = |1-z1||1-z2||1-z3||1-z4|
= |1+1+1+1+1| = 5.
と求まります.(1般化も容易)

定積・定圧モル比熱の γ を用いた表記,ばねピストン

稀に定積モル比熱Cvや定圧モル比熱Cpを比熱比γを用いて答えなければ成らない場合が有ります.

 CvCp_gamma.jpg

これらも記憶して置けば自信を持って答えられますし,時間短縮にも成るでしょう.

γ=Cp/Cv ですが,特に単原子分子理想気体では,γ=5/3 ですので代入すればお馴染みの値が出て来る事が分かると思います.



話は変わって,ばねピストンの復元力ですが,これは答えが決まっています.

[1] 断熱ばねピストン:
danBane.jpg
※ γ=5/3 を代入した物を答える物も有る(単原子分子理想気体).

[2] 等温ばねピストン:
toBane.jpg
※ 実は断熱ばねピストンで γ=1 と置くと出て来る.

γ>1 ですから,断熱ばねピストンの方が等温ばねピストンよりも固いバネだと言えます.
実はU字管の単振動で 1方に気体が閉じ込められている場合,答えは,-2ρSgx に上の F を足しただけの物と成っています.演習経験が有る方は気付かれたでしょうか? 次いでなんですが浮きの単振動は,F = -ρSgx ですね.

解の配置と包絡線の補足

先回の記事: 複雑な解の配置問題には包絡線 を利用する事に関して補足です.

包絡線が放物線と成る場合,有る領域内の点から放物線に対して接線を引いた時の接点の横軸の座標がどう成るかは有る程度の目安が有ります.

接点の横軸の座標を x とし,便宜上,
 区間: x<α, β<x を 「外」,
 区間: α<x<β を 「内」,
と呼ぶ事にすると,下図の様に成ります.
※ 等号が付いているかどうかで閉区間・開区間なので訂正します.

Envelope.jpg

・左から右に読み上げる事にすると,2接線の接点の座標は小さい物から読み上げられる事に成るので,「外内」と「内外」は違います.
・又,境界線上では無い領域の点から接線を引く場合,接線は 2本引ける事が分かると思います.(「接線 2本」⇔「接点 2個」⇔「異なる 2実解を持つ」).

境界線上の点から接線を引く場合:
・放物線上の点から接線を引く場合は,接点は重解で,接線は 1本しか引けません.
・直線上の点から接線を引く場合は,接点の横軸の座標の内の 1つは α, or β と成る.特に 2直線の交点から接線を引く場合,接線は既に引かれた 2直線そのもので接点の横軸の座標は,α, β です.

最後に,解の配置問題と通過領域の問題の違いには注意です.
解の配置問題では,有る領域や境界線上の点から包絡線に接線を引いた時の接点の座標がどう成るかを見るのですが,通過領域の問題では,接線その物を動かして考えます (問題文の解釈も 2解の内,少なくとも 1つが何らかの条件を満たすと成る).

複雑な解の配置問題には包絡線

「x についての方程式: x2+ax+b = 0 が異なる 2正解を持ち,その内の少なくとも 1つは 1以上となる条件 (a, b) を求め図示せよ」

と言う問題を考えて見ます.場合分けだと大変な事に成るのですが,包絡線の知識を使う解答だと,
envelope1.jpg
と成りスムーズです.
勿論,場合分けによる解答で解けるので有ればそれで結構ですし,場合分けでも解ける様にして置いた方が望ましいです.包絡線による解答だと最終的な答えが合っていない場合,部分点が稼げない可能性が有ります.(慣れないと最後の図を描く直前の領域を求める時に見落としたり間違えたりもする.) 場合分けによる解答で有れば場合分けの 1つ 1つに対して部分点が与えられるでしょう.

下記の様に偏微分を用いて包絡線を求めても良いのですが,上記の様に平方完成した方が速いでしょう.
envelope2.jpg
※ これは答案用紙には書かずに計算用紙に書く事.
∂ は 「ラウンド」,「パーシャルディー」等と読みますが,森毅氏風には「まる」と読むそうです.PC でタイプする時は,「デル」と打って変換すると出るのできっと「デル」とも読むのでしょう.

一応,(a,b) がどの領域や境界線上に有る時に C への接線がどの様に引け,接点の a座標がどう成るかの幾つかの場合を下記に示して置きますが,縮尺が区々で各々の場合の直線の傾きも同じ大きさでも見た目が異なっている為,却って混乱するかも知れません.

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1994年度東大数学理系第6問 (2)

大数難易度評価で D**** でしたが分かってしまえばルーチンなので得意な人は是非とも最後まで解き切れる様にして置きましょう.
94s6_2_1.jpg
94s6_2_v2.jpg

よく分からなかったり,もう少しきちんと記述したい人は下記の様にしましょう (所謂ファクシミリの原理を使う).

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1994年度東大数学文系第2問理系第6問 (1)

まず,d(O,P) 等の式の立て方ですが,見慣れない為に戸惑われた方も多かったのでは無いでしょうか?
94l4_0.jpg
何だそんな事かっ ! と思われた方も多い事でしょう.

それでは本題の解答に入ります.この問題の解答は赤本で有れ大数で有れ私にとってはチンプンカンプンでした(今でもですw).Web 上の有志の方々が作っていらっしゃる解答も良く分かりませんでした.又過去問以外の市販の問題集では掲載されていない.恐らくそれだけ説明に窮する問題なのでしょう.

しかし私独自の上手いやり方を思い付きました.場合分けは視覚化する事で楽にしかも確実に行う事が出来ます.


文系 (1)

94l4_1.jpg
94l4_2.jpg
94l4_3.jpg

文系 (2)

94l4_4.jpg
94l4_5.jpg
94l4_6.jpg



こうして晴れて答えは次の図のいずれかに成る訳です.
94l4_7.jpg
長方形ないし正方形の対角線の中点から傾き ±1 の直線を描き,四角形の外周と辺上で交われば半直線,頂点上で交われば領域.
これにより,同年理系出題の第6問の (1) の答えは直ぐに分かりますw

理系 (1)

94s6_1.jpg
94s6_2.jpg



次回は (2) を解説します.前半部分は同じ手法で行けます.
後半も私独自の手法です.

Fermat の原理2 ( ab < 0 )

a<0, b>0 (虚光源実像) の場合:

図は描き方は先回分かって貰えたと思うので端折ります.

totsum1.jpg

必ず,min { OA, OB, OC } = OC と成る様に描いて下さい.そうしないと像は出来ません.

近軸近似による方法:

totsum2.jpg
totsum3.jpg


ピタゴラスの定理による方法:

a<0 の虚光源の場合,n1 の係数が負と成る様に注意します.

totsum4.jpg


a>0, b<0 (実光源虚像) の場合:

totsum5.jpg

近軸近似による方法:

totsum6.jpg
totsum7.jpg


ピタゴラスの定理による方法:

b<0 の虚像の場合,n2 の係数が負と成る様に注意します.

totsum8.jpg



以上,これだけやれば得点源と成る事間違い無いでしょう.

凹面の場合は左右反転して先回或いは今回述べた 3つの場合のどれかに帰着します.その際,光は逆行可能な性質も利用すると良い.

Fermat の原理1 (a, b > 0)

まず始めに図の描き方から示します.
totsu1.jpg

図に示した通りに描けば良いのですが,円弧PO (C が中心, 曲率半径R でレンズ面と成っている) は始めの方で描かない事.
CP の P 側を延長し,P に置ける法線を描くと綺麗に描けます.入射角i と屈折角r もどこから測れば良いか一目瞭然です.
(雨滴等の曲面に対する入射波・反射波・屈折波を描く時も,接線と法線を必ず書き加えるべし.)
更に a軸,b軸を設定します.最後の赤四角の式は是非とも公式として覚えて置くと良いです.+a, +b と態々プラスを付けたのは実光源・実像で有る事を強調する為です.後で 2, 3 例を挙げるのですが,それを見て貰えば,理由が分かると思います.
右辺は凸面への入射を考える場合はいつも同じです.(凹面への対応法は次回に述べます.)
分子については両辺を見て添え字は内側同士と外側同士が同じ.


近軸近似による方法:

まず,約束事として,角度 i, r, α, β, γ は全て微小角なので,全て,tan θ ≒ sin θ ≒ θ として立式します.
totsu2.jpg
 ① スネルの法則 (屈折の法則)
 ② 近軸近似
 ③ △APC, △BPC に注目して,i = ~ , r = ~ と式を立てます.
何と,③ で着目すべき 3角形は A, B, C, P の記号の使い方を上の図の様に統一すれば,虚光源で有ろうと虚像で有ろうと記述上は全て △APC, △BPC と同じです.

計算は ① に ③ を代入し,更に ② を代入します.これも虚光源で有ろうと虚像で有ろうと全て同じ計算方法です.

totsu3.jpg

文字の対応関係を a <-> α , b <-> β , R <-> γ と決め手置けば ① と ③ だけで ② は見なくても計算出来ますね.


ピタゴラスの定理による方法:

totsu4.jpg

√ を外す近似式は 2重のニュートンリングの所で特集しました.
(両辺) x (2/h2) は,虚光源・虚像の時も全く同じ決まり切った式変形です.


次回は,虚光源,虚像の場合を示そうと思います.

レンズ (東大後期の問題)

ニュートンリングを横倒しにした物と考えます.

(1)
lens1.jpg

ピンクの部分の光路差が等しいので,
lens2.jpg

(2)
lens3.jpg

ピンクの部分の光路差が等しいので,
lens4.jpg

(3)
lens5.jpg

ピンクの部分の光路差が等しいので,
lens6.jpg

ニュートンリングの公式自体,導出に1次近似を使っているので,その公式の導出も書き加えて置けば,問題文で与えられた近似式を使っている事に成るので,問題無いでしょう.

それにしても簡単過ぎませんか ?

2重のニュートンリング

今回は 2重のニュートンリングを解説します.東大後期のレンズの問題や Fermat の原理や近軸近似につながる様にしっかり解説しようと思います.

下図を見て下さい.
 左側は B 中心,曲率半径 b の円のレンズによるニュートンリング,
 右側は C 中心,曲率半径 R の円のレンズによるニュートンリング
と成っており,隙間の行路は公式で
 左側が h2/(2b), 右側が h2/(2R) と求まっています.
newRW1.jpg


次に下の図を考え,行路 BP を 2通りに表して見ます.
newRW2.jpg
最後,赤四角で囲んだ式はニュートンリングの公式自体に 1次近似が使われているので,≒ としました.この式は非常に重要です.
図形的な意味としては 2重のニュートンリングを作るレンズから導かれると言う事.
そして左辺を見掛けたら直ぐに右辺へと近似出来る事が大事です.

特に後でレンズの式をピタゴラスの定理から導くのはこの近似がスパスパ出来るかどうかで決まります.

極座標の回転体の体積公式

重積分を r と φ だけ実行して θ は実行しない事で導出出来ます.

dVrtheta.jpg

導出が簡単で手間が掛かりません.自分で気が付きましたが当たり前と言えば当たり前か・・・.ざっと調べて見ましたが,この方法で導出しているものは見当たりませんでした.

本当は図も添えるつもりでしたが,画力が無いので・・・.微小体積はイメージとしてはとんがりコーンみたいになる物だと思って貰えれば良いです.

動滑車の頻出題の 1般化

α, β, γ は下向きを正とします.特に α, β は同じ向きにしないと対称式と成りません.
dokatsu1.jpg

慣性力を使わずとも第1~3式から (加速度) = ~ の形にし,第4式の束縛条件の式に代入する事でまず T が求まり,各々の加速度も求まると言う至っておもりの質量が簡単な整数比と成っている時と同じ解き方です.私が実際に計算して見たら求めるのに 10分も掛かりませんでした.

これらの解の係数を書き並べて見ます.
dokatsu2.jpg
・まず気が付く事として 4 が多いですね.
・α と β は対称式と成っています.α の係数は"四歳"ですか・・・.
・A の移動を 邪魔するのは B, C, B の移動を邪魔するのは C, A, C の移動を邪魔するのは,A, B なので,α は mBmC の係数がマイナス,β は mCmA の係数がマイナス,γ は mAmB の係数がマイナスと成っています.

以上の事を念頭に入れれば答えを覚えられない事も無いと思います.

楕円軌道の v, r の解

普通はケプラーの第2法則 (面積速度1定の法則, 角運動量保存則) とエネルギー保存則を連立して解くのですが,答えの形をよくよく見ると・・・.(r, v が未知数です)

vrGM.jpg

v: (R+r)/2 は長半径で第1宇宙速度が表れています.これを (平方根での) 比例配分をして答えです.
r: 分母に第2宇宙速度が表れています.(右辺全体) = 1 として V について解くと第1宇宙速度と成ります.

余弦定理禁止令

図の x を求めて下さい.但し,余弦定理は使用禁止です.
noCos1.jpg

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割と綺麗な答え [力学]

[1]
5grgr2r.jpg

ギリギリ最高点に達せられる速さ √(5gr) で突っ込むと円の最高点では速さ √(gr) と成り,そこからの水平投射で落下までに進む水平距離は 2r で有る.(京大)
関連: http://denofhardworking.blog.fc2.com/blog-entry-498.html


[2]
3gd.jpg
鉛直方向での単振動で釣り合い位置での伸び δ に対し,2δ だけ伸ばしてから離すと自然長での速さは √(3gδ) で有る.

M/(M+m) の項が有る記憶出来る答えたち

静止状態からの分裂では速さ,エネルギーは質量の逆比になるだとか,相対運動エネルギーを用いる必要すら無くなりましたw

[1]
2ghMMm.jpg
直ぐ下の例 [2] と違い,V を求める時に m と M を交換した物は×.

[2]
akmMMm.jpg
出題頻度はさほど高くない.

[3]
vv2gMMm.jpg
h = l (1 - cosθ) と成った題材も有る.

[4]
dMMm.jpg
難問だと弾丸に当たる部分にもう 1つの物体との衝突が有ったりして余り使う機会が無い.

物体系の単振動の究極テクニック

図の状態を初期状態とする単振動について,テクニックは幾つか有り,今までに紹介した物も有るのですが,今回はそれを全て吹き飛ばしてしまう程の破壊力を持っています.言って見れば答えそのものをダイレクトに出してしまうのです.
fig_muK.jpg

1回縮んで再び自然長と成った時の右側の速度は,2vG (vG は重心速度).

ばねの最大最小の長さ L は,
L_Mm.jpg
1般には,v0 -> max {|vrel|} とすれば成り立つ (自然長の時の |vrel| です).

後,何故か,
12_3k.jpg

周期が,
T_mu.jpg
と成るのは御存知だと思います.

御椀上の物体の釣り合い・束縛条件

釣り合いについて:
cupF.jpg
θ/2 が出て来る事に要注意ですが,2等辺3角形に垂線下すと θ/2 が出て来ると言うのは過去記事で何回か取り上げました.
tan の半角公式の意味 2
sin の半角と 2倍角,cos の半角公式の図形的な意味

束縛条件について:
cupX.jpg
図のピンク色の部分が等しいので,
cupX2.jpg
両辺を時間微分して,
cupX3.jpg

いきなり速さの条件式を求めようとせず,まず変位を求め,糸の等しい部分の長さを見極める事です.後はゆっくり微分して行きましょう.


初見はともかく分かってしまえばそんなに難しく無いと思います.

3枚極板で Q 主体の場合

3枚極板で初めに Q が与えられ,Q を主体に考えていく場合が有ります.

例によって大き目の図を描き,Q, C, V, E を求めて図に書き込む事から始めます.

3maiQ.jpg
見易さ,計算のし易さを重視する為に d-x=y と置くと良いでしょう.

※ 途中から間違っているので注意して下さい.(まだ修正してい無い)
修正出来たと思います.

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電磁気学,その他の知識

抵抗の比が簡単な整数比で表される場合,例えば図の様に電流を仮定するのが簡単です.一々,i1, i2 等と置くのは愚の骨頂.
xRi.jpg


ハイ,それでは今まで取り上げていなかった
1. 電荷密度
2. 誘電体を挿入脱却する時の外力のした仕事
3. ブリッジ回路交流回路版
この 3つの知識についてまとめて置きます.

電荷密度について:

電荷密度 σ と言う概念が稀に出て来る事が有ります.これは次の式で理解して置きましょう.
sigmaE.jpg


誘電体を挿入脱却する時の外力がした仕事 ΔW.
(下図の回路と言う条件の下,ほぼ検算用?)

キャパシター (コンデンサー) の静電エネルギーを U とする.
iruDeru.jpg
CCx.jpg
i) スイッチを切っていた場合:
delWx.jpg
ii) スイッチを入れていた場合:
delW-x.jpg

特に,i), ii) いずれの場合も
delW-W.jpg
で有り,誘電体完全脱却時の U は求め易いので,ΔW完全脱却 は,
ΔW完全脱却 = -ΔW完全挿入
からの計算の方が楽.

ブリッジ回路交流回路版

bridgeLC1.jpg

定常状態で検流計に電流が全く流れていないと言う条件の下で,
bridgeLC2.jpg
が成立する.

極板が面に垂直に動く場合

キャパシター (コンデンサー) の問題について,極板が面に垂直に動くタイプの解法は,まず大き目の図を描き,Q, C, V, E を求めて図に書き込んでから問題に取り掛かると良いでしょう.何故ならこれらは芋づる式に求まり,又図に書き込む事で現象把握も容易に成るからです.E も求める事に注意して下さい.C, V から攻めるだけで無く E からも攻められる様にして置きましょう.

それでは典型的なモデルを考えます.

まず,間隔 d で十分充電する (初状態とする).

[1] 初状態からスイッチを切り,右側の極板を固定して左側の極板を右に x だけゆっくりと移動した.
offVC.jpg

[2] 初状態からスイッチを入れたまま,右側の極板を固定して左側の極板を右に x だけゆっくりと移動した.
onVC.jpg

[1], [2] とも,文字 y を導入して見易くして置くと計算も容易に成ると思います.

最初に Q, C, V, E を求めて図に書き込むとキャパシターの静電エネルギーは,どちらの場合も
QVhalf.jpg
で計算出来ます.これがこの解法も素晴らしい点です.

[1], [2] とも,ΔU が綺麗な形なので,余力が有る人は是非とも記憶.

スイッチを入れたままの場合 (WE は電池がした仕事です) ,
UWeW.jpg
が成り立っている事が何故か多いです.
更に,U が x についての 1次関数の時,WE, W外力, ΔU とも x の 1次の項のみと成ります.つまり,U の定数項は無視して 1次の項だけ取り出せば良いのです.

水圧について (主に物理分野)

水圧が苦手な方は次の図を目に焼き付けて置くと良いでしょう.

wP.jpg

流体が 水の場合の ρgh の数値計算ですが,
h の単位が cm の場合,
 10 x 9.8 x h [cm] = [Pa]
h の単位が m の場合,
 1000 x 9.8 x h [m] = [N/m2]
と成ります.
化学は前者,物理は後者の場合が多い.

素潜り時の平衡点は不安定です.少し上昇すると,ボイル則より体積が増し,浮力が増大する.然しながら下向きの力は変化せず,合力は上に増すからと考えれば,定性的に納得出来ます.
潜水してから上昇する時は息を吐き出しながらおもりは捨てずに上昇せよと言う事ですね.

電磁気学で 1定の力と来た時

スイッチを入れたまま誘電体を離した時や荷電粒子の運動で 1定の力が働く場合,等加速度運動と成ります.それで移動距離が分かっており,最高速度や時間等を求め無ければ成らない場合,エネルギー保存と運動量と力積の関係を使うと無駄無く求める事が出来ます.運動方程式だと 2度手間に成ってしまいます(大した事では無い気もしますが・・・).

EM_vt_201606111603259c5.jpg

実際の問題では,まず v を求めた後,式が文字だらけでルートや分数等の複雑な場合,
EM_vt2L_201606111603272a7.jpg
と言う関係が有るのでそこから t を求めると良いでしょう.(等加速度運動の v-t グラフ利用と同じ)

ボイル-シャルル則を 1行で書く方法 (案)

以下,説明の為に 2行で書いていますが,実際に書く時は 1行です.

[1] 未知数が圧力の場合:
PVT_P.jpg

[2] 未知数が体積の場合:
PVT_V.jpg

[3] 未知数が温度の場合:
PVT_T.jpg

本当は意味を考えて温度補正・体積補正・圧力補正して行った方が良い?

物理の方に成って恐縮なのですが,
 P/(ρT) = (一定)
と言う式も有ります.これは ρ が未知数の場合が多く,意味を掴んで補正するのが容易です.

噴射による速度増加公式

噴射前の速度に対して速さ vr前 の場合:
vZen.jpg

噴射前の速度に対して速さ vr後 の場合:
vGo.jpg

いずれの場合も n 回噴射する場合:
vnFunsha.jpg
vr が噴射前か後かで Σ の中身が 1項だけズレている.

調和数列とは逆数が等差数列と成っている数列の事です.

y = xsinx と y = xcosx

y = xsinx
y = xcosx

これら 2つの関数は結構な頻度で出て来ます.特に区間 [0, 2π] でのグラフの形状,極大極小点,面積等について自分でまとめて置くと良いでしょう.

[1] y = xsinx について:
y= xsinx
y' = sinx+xcosx = cosx{tanx-(-x)}
区間 [0, 2π] だと結局,tanx+x=0 なる x (2個有る) の前後でしか y' は符号変化し無い.
∫[0, π/2] xsinx dx = 1
∫[0, π] xsinx dx = π

[2] y = xcosx について:
y = xcosx
y' = cosx-xsinx = sinx{cotx-x}
区間 [0, 2π] だと結局,cotx-x=0 なる x (2個有る) の前後でしか y' は符号変化し無い.
∫[0, π/2] xcosx dx = (π-2)/2
∫[0, π] xcosx dx = -2

{tanx-(-x)}, {cotx-x} の符号は綱引きで見るのが良い(代ゼミの荻野氏の本に詳しい).
y = cotx のグラフを知っていると有利.
極大極小点を計算する時,sinx, cosx は 3角形を描いて求める.

トロコイド,外内サイクロイドと微小弧長公式

現課程に成ってどうやらトロコイドと外内サイクロイドの位置座標は公式に格上げされた様です.
そこで少しでも負担を減らす為に導出法のどこに重点的に気を付ければ良いかを解説して見ようと思います.

[1] トロコイド:
trochoid1.jpg

図の様な b軸を設定する事が最大のポイントです.
後は,2つの aθ の長さが多少違っていようが,θ が鋭角と成る様に描くと考え易い.

実は,y座標の方は,
trochoid2.jpg
と言う関係が有りますのでこれで覚える事は少し減ります.

又,b=a とした物がサイクロイドです.
トロコイドは物理でも荷電粒子の運動で出て来ますね.

[2] 外サイクロイド:
epiCycloid1.jpg

P' を考えるのが最大のポイントです.
小円に出て来る回転角 (a/b)θは,一々,aθ=bω とか書かないで,a>b の場合を考えて小円の回転角の方が大円の回転角より大きいから,(a/b)θと出しましょう.
後の計算を考えて,θ+(a/b)θ は通分しない方が良い場合も有ります.

b -> -b とした物が内サイクロイドです.つまり,公式としては外サイクロイドだけ覚えて置けば良い訳です.
慣れてくれば頭の中で考えて導出出来ますし,覚える事は充分可能でしょう.

[3] 外内サイクロイドの弧長公式:
これは a, b を 1般のまま計算して見たら綺麗な形に成ったので私がまとめて見ただけです.

epiCycloid2.jpg

途中は cos の加法定理を逆向きに使うだけです.この 1般の計算ではθ+(a/b)θ は通分しないままの方が計算し易いです.
-a<b, b≠0 の場合を考えているので |a+b| の絶対値は外しました.
見掛け上,半径 (a+b), 中心角 (a/(2b))θ の弦の長さと成っています.

a, b, c を上とは別の文字で定数で,ac が π の整数倍となっている時,
2c_pi.jpg
が成り立つので,例えば,R=3, r=-1, c=2π/3 の時,
∫[0, 2π/3] 2(3-1)|sin((3/(-2))θ|dθ= 2(3-1)x2(2π/3)/π = 16/3.
と成ります(早大・理工).

f (z) = z + 1/z

huko1.jpg
と言う変換には人名が付いており,ジューコフスキー変換と言うそうです.現課程の大学入試数学では大量の出題が予想されます.

[1] f(z) が実数と成る場合:
hukoRe.jpg
通分して因数分解するだけなので計算は省略しました.(初見だと意外に出来ない!?)
複素数平面も x軸, y軸を用いて y座標も i を表記せずに普通の座標と同じ様に表記すれば良いそうです.

[2] f(z) が虚数と成る場合:
hukoIm.jpg
これも通分して因数分解するだけ.

尚,1次分数変換
moebius.jpg
にも実は人名が付いており,メビウス変換と言うそうです.メビウス変換の合成関数や逆関数は行列の積や余因子行列を利用すると速いです.勿論,c≠0 や determinant の確認も忘れずに.

何度も言っていますが,やはり人名が付いている物は極力人名で呼んで差し上げるべきです.

余談ですが,複素数が単位円周上にある時は,
cirE.jpg
を利用する事が多いです.

sin の半角と 2倍角,cos の半角公式の図形的な意味

half2_1.jpg
[1] sin の半角公式について:
sinHalf1.jpg

[2] cos の半角公式について:
cosHalf1.jpg
cosHalf2.jpg
cosHalf3.jpg

[3] sin の 2倍角の公式について:
sin2_1.jpg
sin2_2.jpg
sin2_3.jpg
sin2_4.jpg
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A6033x

Author:A6033x
数検1級取得しました.
個人的な連絡は,hermitvseinsiedler@_@gmail.com
まで(@_@は@に置換すること).
あまり見ないかも知れないのでその場合は twitter の方へ.
twitter:https://twitter.com/A603zw
そもそもネット接続自体減らして行く事になりますが...

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