垂直に切った直円錐の表面積の 1般化・公式化

先回慶應大の入試問題で切った円錐の表面積を求めて見たのですがこれを 1般化して図形量を文字にしたままやって見ます.

coneSge1_2.jpg

θ = 2π と置くと,S = πrl. 直円錐の側面積ですね.

2016年度東大数学理系第4問

この問題,1998年度の東大文系数学前期第2問(1) の単なる焼き直しだと思います.掌握(赤) にも掲載されていますし過去問研究されていれば辺の長さで条件を立てて同値変形して行くだけで全く同じ様に解けるのですが,何だか角度で解いている物ばかり見掛ける感じがしたので長さの条件で解いた解答を挙げて見ます.

角度で考えると,分数が出て来ますし,
geAngle.jpg
等と 1般角の場合はどう成るのかと言う問題が生じきちんと記述し無いと減点されると思ったからです.

鋭角3角形の条件: a2 + b2 > c2. (a, b, c 入れ換えた物も含む).
は,cosθ = ・・・ にした余弦定理の分子の符号から考えるか,
極端な場合を想定して,
acute1.jpg
等と考えます.

(A ≠ B ≠ C だと,C ≠ A が表されてい無い様なので解答訂正しました.)

(解答)
2016uts4_2.jpg


[ポイント1.] A = B = C ⇔ A = B, B = C (2つで O.K.)
A ≠ B ≠ C は,C ≠ A が表されてい無いので始めからカンマ (コンマ) で 3つに区切って,A ≠ B, B ≠ C, C ≠ A と書く事.
[ポイント2.] 最後まで複素数でやる必要は無い.途中で z = x + iy と置けば良い.
[ポイント3.] 境界を含ま無い場合は点線や白丸で描くのが良い.

切った円錐・円柱の側面積の求め方

※ 偏微分計算を間違えていたので訂正しました. (-) を付け忘れていました.

まず,次の 2つの表面積を求める公式をしっかり区別します.
formulaS.jpg

底面: x2 + y2 ≤ 1, z=0, 頂点(0, 0, √3) の直円錐の側面積の内 y ≥ 1/2 を満たす部分の面積を求めて見ます.(慶応大年度学部不明)
koS1.jpg
koS2_2.jpg
最後,弓形の面積公式: (1/2)r2(θ - sinθ) を利用しました.
普通に解くとかなり大変です.答えまで出せば白紙答案よりは評価されると思います.

直円錐でも次図の様に斜めに切ると公式は使えず真面目に解くしか有りません.
coneS1.jpg
大嘘でした.-> http://denofhardworking.blog.fc2.com/blog-entry-572.html

直円柱を斜めに切った時の側面積の求め方ですが,
cylinderS1.jpg
図をさっさと描ける様にし面積も公式化して置きましょう.
1応見取り図を描くと,
cylinderS2.jpg

内角・外角の 2等分線と比の定理の証明

証明法が意外と忘れがち (?) なのでまとめて見ます.

内角
inHalf.jpg

外角
outHalf.jpg

(証明) 図の様に補助線を引き点を取る.
inOutHalf.jpg

※ H2F' // PD // H1F です.

この方法の方が平行線を引く方法よりも明快だと思うのですがねえ.
相似な 3角形を見付けると,3辺の比が使えて 3倍返しだーと言った気分に成る (?)

面積・体積の n 分割には積分の平均値の定理

面積・体積を n分割 (問題によっては 2n分割) する問題に対しては積分の平均値の定理です.使わ無いと計算量が全然変わって来ます.(n分割は (n-1)枚の平面,2n分割は (2n-1)枚の平面です(植木算の応用).)

1般的に流れをまとめて見ると,
sekiHei.jpg
数列 {cn} が b に収束する事を詳しく述べます.n を (n+1) に増やすと面積・体積は (n+1)分割で 1個分の面積・体積は n分割の時に比べて減るのですが,cn > cn+1 と仮定すると矛盾するので,cn ≤ cn+1 です.又,cn ≤ b. よって,数列 {cn} は単調で有界な数列だから,b に収束.

数列 {cn} が b に収束する事についてのもう 1つの説明.積分の平均値を使う標準的な答案だと右辺 A/n について,A は定数だから,n -> ∞ の時,右辺は 0 に収束.従って,cn は b に収束と記述する事に成ります.


他に積分の平均値の定理が使えるシチュエーションは,
1. 増減・インテグラル関連の抽象関数,
2. トイレットペーパー分割 (Shell Method) を厳密に証明する時,
ですが,1. は,f'(t) > 0 の時,0 < t < x ⇒ 0 < f(t) < f(x), ・・・や,部分積分等の別解が有り,
2. も ΔV = {π(x+Δx)2-πx2}f(x) から出来れば充分でしょうしそもそも証明途中でパップス-ギュルダンの定理を使う事に成るのでね.

y = ax² + bx + c の接線: y = bx + c の利用方法

y = ax2 + bx + c (a≠0) の接点の x座標が 0 と成る接線は,
y = bx + c
です.

実はこの知識を利用すればグラフから,方程式: ax2 + bx + c = 0 (a≠0) が解を持つのか,持つとしたらそれらの正負はどう成るのかが大まかに判断出来ます.
i)
bc1.jpg
ii)
bc2.jpg
iii)
bc3.jpg
iv)
bc4.jpg

∀, ∃, s.t. 等の論理記号の使い方

大学受験生が, ∀, ∃, s.t. 等の論理記号の意味や使い方を手っ取り早く学びたいので有れば次の 2サイトがお薦めです.(リンク切れに成りません様に)

論理記号について - 東京大学
https://lecture.ecc.u-tokyo.ac.jp/~nkiyono/kiyono/simo11-01a.pdf

pdf, 680KB. - 大阪電気通信大学
http://www.osakac.ac.jp/labs/mandai/writings/allexist/allexist.pdf

1時間も有れば充分使いこなせる様に成るでしょう.(試験答案で使うかどうかはアナタ次第.)


より詳しく学びたい方は次のサイトがお薦めです.
「論理学入門」講義ノート - 慶應大学
http://abelard.flet.keio.ac.jp/person/mitsu/pdf/nyumon_logic.pdf

Introduction to Mathematical Logic - 数理科学講座 - 京都大学
http://www.math.h.kyoto-u.ac.jp/~takasaki/edu/logic/index.html#lectures

まあ受験学年成ら深追いし無い方が宜しいでしょうけれど.
実は私自身数日前に見付けたばかりでまだ全てを了解した訳では無い (笑)

y = x + √(x²+A) のグラフと基底変換

東大理系の受験生は必須知識だと思います.
xsqrtxxA1.jpg
物理の解答成らこれで充分だと思いますが数学の解答ではきちんと微分して増減を調べ漸近線も極限を使って求めた方が良いかも.概形を手っ取り早く把握する成ら上の通りにする.

基底変換のやり方:
xsqrtxxA2.jpg
正規化はしませんでしたが,正規化しても良いでしょう.
①式が中々立てられ無いかと思いますが,y = x-√(x2+A), y = -x±√(x2+A) も同様に自分で計算して見れば試験場でも使える技術と成るでしょう.

2010年度東大理系数学前期第4問
xsqrtxxA4.jpg
1991年度東大物理前期第1問
xsqrtxxA5.jpg
と出題されていますので,東大理系の受験生は必須知識です.

xsqrtxxA3.jpg
よりきちんと記述すれば別解でも行ける? (責任は持てません.)

1本の方程式なのに 2直線の交点が求まる理由

点R の座標 (x, y) を求めよと言う問題を考えて見ます.

Cll1ppon1.jpg

オーソドックスな解答は,
Cll1ppon2.jpg

所が次の様にアプローチされる事が有ります.

Cll1ppon3.jpg
1本の方程式なのに 2直線の交点が求まっています.不思議では有りませんか?
今回はこれをきちんと説明します.

y = 2ax-a2 は,y = x2 上の点 (a, a2) に置ける接線です.
それと同時に点 (x, y) を通る直線でも有ります.
a2-2xa+y = 0 と変形しても点 (x, y) を通る直線で有る事に変わりは有りません.ここで D>0 を考えていますが,その意味は,a2-2xa+y = 0a についての方程式と見なすと a は異なる 2つの値を取るという事です.a は何でしたか?
そう接点の x座標でしたね.
  (接点の x座標が異なる)
⇔ (接線の傾きが異なる)
(a2-2xa+y = 0 は点 (x, y) を通る異なる 2直線を表す)
逆に,D/4 = x2-y >0 ⇔ y < x2 に点 (x, y) を取ればその点から 2本の接線が引けると言う訳だー.

さあ,クライマックスです.
a2-2xa+y = (a-s)(a-t). これは a2-2xa+y = 0 の解が s, t で有る事を示しています.従って係数比較により,x, ys, t により表されました.

 最初の解答では 2本の接線の交点が点R で有る.
 後の解答では,点R (x, y) を通る接線が 2本有る (接点が 2個有る).
と言う考えです.

y < x2 と言う条件は最初の解答では,s, t の実数条件から出て来ます.


この考え方を使うもう 1つの有名問題が有ります.
Cll1ppon4.jpg
※ 実際の解答では除外点に注意して下さい.
しかし,(cost/a)x + (sint/b)y = 1 と rcosθ(x-rcosθ) + rsinθ(y-rsinθ) = 0 の係数を比較して t を消去した方が楽ですね.θ は目に見える角,t は楕円を円に戻した時の角なので θ は残して t を消去です.

解と係数の関係は,= ( )( ) と言う式を書いてから係数比較した方が良い様な感じがしますね.


長く成ってしまったのですが,少し違う話を.
共通接線の問題では,共接条件: x = t, s に置ける接線が同1だから傾きと y切片が等しいと連立する (問題の設定に依っては接点が同1 で s = t) のですが,未知数が s, t の 2つに成ってしまいます.2次関数が有る場合は判別式を使うと未知数が減って分かり易く成るかも知れません.まあ好みの問題ですがね・・・.
完全に定数分離するか,1次式で分離するかは,2次関数や ex 等の単純な関数なら 1次式,それ以外なら完全に分離が 1つの目安です.稀に定数分離出来ずに微分して考察する物も有りますが・・・.
整関数成らば,(C を曲線,l を接線とすると,)
 C-l = ( )2( )
(右辺の ( ) の数は問題に依る)
の利用が上手いです.係数比較と場合に依っては微分して係数比較.
又,
 C1-l = ( )2( )
 C2-l = ( )2( )
辺々引くと,
 C1-C2 = ( )( )
C1 = C2 とする事無く,更に右辺が因数分解されているので殆ど計算する事無く,C1 と C2 の交点が求められます.

これを使えば,1番上の問題も x座標だけが問われている成らば,
Cll1ppon5.jpg
殆ど計算無しに求められます.

x² ±x ±1 = 0 (複合任意)

今回は頻出の 4つの 2次方程式: x2±x±1 = 0 (複合任意) です.

 ++: x2+x+1 = 0
 -+: x2-x+1 = 0

これらを解く時には計算不要です.
各々,
 ++: (x-1)(x2+x+1) = x3-1 (1 の 3乗根)
 -+: (x+1)(x2-x+1) = x3+1 (-1 の 3乗根)

より,単位円に内接する正3角形を思い浮かべて,
plumi1-3.jpg
 ++: x2+x+1 = 0 の根は,x = cis(±120°)
 -+: x2-x+1 = 0 の根は,x = cis(±60°)

と求めます.

 +-: x2+x-1 = 0
 --: x2-x-1 = 0

これらは頂角 36° の 2等辺3角形を考えた時等に出て来ます.-- はフィボナッチ数列の漸化式の特性方程式でも有る.
152.jpg
解くと,
 +-: x2+x-1 = 0 ⇔ x = (-1±√5)/2
 --: x2-x-1 = 0 ⇔ x = (1±√5)/2

と成るのですが,
 "イチゴ半分"
と語呂合わせで 1応覚える事は出来ます.

※ 再3 ですが,cos36° , cos72° はそのまま答えとし無いで下さい.分母 4 です.
1般に 2次方程式を解く時には私はまず判別式は予め別に計算します.それでも間違える事が多いが・・・.

1+cosθ, 1+sinθ の図形的な意味

1+cosθ, 1+sinθ の変形に意外と時間が掛かってしまう方に朗報です.
式変形よりも図形的に考えた方が速いですし間違いも少無く成るでしょう.
1sin1cos.jpg
※ π/4-θ/2 の範囲ですが,1次関数は区間の端点で最大最小を取ると言う定理が有りますので θ の不等式からでは無く端の値を代入する事により求めましょう.その方が速いですし間違いも少無い.
※ θ が鋭角とは限ら無いので答案には図を書か無い方が良いでしょう.

符号違いの 1-cosθ, 1-sinθ に付いては,
 1-cosθ = 1+cos(θ+π)
 1-sinθ = 1+sin(-θ)
と考えます (まあ cos の方は半角公式を逆向きに使えば良いだけですが) .

双曲線関数の加法定理と関数方程式

今回は双曲線関数の加法定理と関数方程式について解説します.1見大学入試に関係無さそうに見えて実は関係大アリです.

まずは予備知識として,
双曲線関数とその読み方は,sinh(ハイパボリックサイン;シンチ), cosh(ハイパボリックコサイン;コシュ), tanh(ハイパボリックタンジェント;タンチ).
※ 3角関数の逆関数: sin-1(arcsin)[アークサイン], cos-1(arccos)[アークコサイン],
tan-1(arctan)[アークタンジェント] と混同し無い事.

sinhcoshtanh1.jpg

では本題に入ります.

双曲線関数にも加法定理が有ります.(以下複合同順)
sinhcoshtanh2_2.jpg
証明は,指数関数表示して右辺を展開すれば O.K.

これらは関数方程式の入試問題を作る時の背景に成っています.
例えば,
sinhcoshtanh3.jpg
又,
sinhcoshtanh4.jpg
これらに f'(0) の条件が lim の形で与えられている事が殆どです.

今こうして関数方程式のアイデンティティを特定したった我々は f'(x) を求めた時点で問題文の誘導を無視して元の関数を求めてしまう事が出来ます.その際も,
sinhcoshtanh5.jpg
から暗算で求められます.
誘導の意図が掴め無い時はこうやって強引に解いてしまいましょう.


所で似て非なる物で,
sinhcoshtanh6.jpg
ですね.

ブラーマグプタの恒等式の覚え方

今回はブラーマグプタの恒等式を自力で導き,それにまつわる大学入試問題は完璧に解ける事を目標にします.

a, b, x, y ∊ ℤ, D は平方数で無い自然数とします.

ブラーマグプタの恒等式は共役を考えれば簡単に導出出来ます.
Brahmagupta1.jpg
少し横道に逸れます.
Brahmagupta2.jpg
これも重要な式らしいですが今回は詳しく立ち入りません.

話を戻して,改めてブラーマグプタの恒等式:
Brahmagupta0.jpg
各文字に色々な置換を施した物が入試ではテーマと成ります.

Brahmagupta3.jpg
と置換すると,
Brahmagupta4.jpg
ペル方程式が得られましたが,これよりペル方程式は 1つ整数解を持てば (特殊な連立漸化式で無い限り) 無数の整数解を持つと言えます.
実際の問題では,D は与えられている既知の値です.a, b は与えられているか,自力で a2-Db2=1 から 1つ発見します.
※ 1般には,a2-Db2 = m1 だが,入試レベルでは =1 が殆ど.

最終的な目標としては,2つの方向性が有ります.
【1】 数列 {xk}, {yk} が単調増加な時,連立漸化式の行列を順に計算して有る値を超える xk, yk を見付ける.
【2】 数列 {xk}, {yk} が単調減少で有る事を示し,収束する値を求める.

※ どちらのタイプの問題でも連立漸化式を解きにかかっては行けません.
※ 【2】 では 「単調で有界な数列は収束する」 と言う定理を使います.難関大志望成らば当たり前の様に使え無ければ成りません.


逆に,ペル方程式が解を持た無い事を示すには,適当な mod を取って調べれば良いです.平方剰余は剰余系全てを表せ無い事を利用します.これは入試に限らず数検や競技数学でも言えます (レベル自体は少し上がる).

x/y -> √D に収束 (Pell's equation)

以下,m, n ∊ ℕ, D を平方数では無い自然数とし,極限を取る時は公比等が収束する様な都合の良い値とします.

Pell1.jpg
から話を展開して見ます.頻出なので見た事有る方が殆どだと思いますが,文字にして見た方が理解が深まると思います.

まず,この手の問題で (1) で出される最初にする作業,
Pell2.jpg
本テーマの問題で最重要な事として,連立漸化式① が得られますが,慌ててこれを解きにかかっては行けません.と言うか連立漸化式の解き方が分から無い無勉強な人よりもきちんと勉強して解き方が分かっている人が解きにかかって間違いに陥りがちです.

※ 非対称な連立漸化式の解き方:
方法1. 1文字消去で 3項間漸化式
方法2. an+1+kbn+1 = r(an+kbn) として等比数列 (k, r の値は 2つだから 2つ出来る)
方法3. 対角化 (P-1AP=B, Xn+1=PBP-1Xn の P-1, P の順番に注意)
※ 対称な連立漸化式は和差算


次にやる事はペル方程式の作成です.共役を考えます.
Pell3.jpg
※ x2-Dy2=m の形の方程式をペル方程式と言います.
※ 共役な物でも成り立つ事は,√D -> -√D と置き換えれば殆ど自明な感じがしますが,帰納法で示して置いた方が安全な様です.

いよいよ {xk/yk} の極限を求めます.1番簡単な求め方は,②, ③ を和差算で解いてしまう事でしょう.
Pell4.jpg

その他の求め方で分かり易い物から挙げて行きます.以後,数列 {xk}, {yk} は連立漸化式① から帰納的に自然数で単調増加な事を使います (答案で必ず記述する事).

[1] ペル方程式④ から共役利用して変形
Pell5.jpg

[2] ペル方程式④ その物を変形
Pell6.jpg

[3] 不等式: |xn+1/yn+1-√D| < r |xn/yn-√D| を作る方法
Pell7.jpg
問題に依っては 「xn+1/yn+1 が xn/yn よりも良い √D の近似値で有る事を示し,・・・」 と有りますが,この方法が 1番明確に示している感じがします.

ai = xi/yi と置き換える方法は √D に収束する事が分から無い時に予想を立てる為の物で答案としては微妙だと思います.
Pell8.jpg

垂線の足と対称点を表す公式

ヘッセ標準形 (ヘッセの公式) :
Hesse1.jpg
の分子の絶対値ですが実は平方せずとも外せます.2通りの方法が有ります.
1つは,正領域・負領域の考え方を用いる方法,
もう 1つは,
Hesse2.jpg
です.

この事を念頭に置いた上で垂線の足や対称点の座標公式を観察して見ます.法線ベクトルn↑ はどちら向きに出ていても変わりません.公式の 2項目にマイナスが付いている理由を大雑把なイメージで説明すると,
Hesse3.jpg
これだけでは分からない方は下の波線部の公式と見比べて見て下さい.

2次元:
Hesse4.jpg
3次元:
Hesse5.jpg
2項目のマイナスの理由,分母の √ が消える理由,対称点には係数 2 が付く理由が分かって貰えたと思いますし,無理無く覚えられますね.


ヘッセの公式の絶対値の外し方が分かった事で座標平面上の 3角形の内心の座標も場合分けし無いで求められる様に成った訳ですが,公式:
OI_1.jpg
を使った方が速いかも知れません.

実は,
 "係数の和が 1 で有れば 位置ベクトルの始点はどこでも O.K. で
  1次従属なベクトルで表しても良い."
と言う定理が有るので,例えば A を始点にしたい時は,O に A (a↑ = 0↑) を代入して,
OI_2.jpg
と表せます.

極射影について

極射影の問題に対しては,
 1. ベクトル方程式を立てて連立
 2. 内積利用

と 2通りのアプローチ方法が有ります.内積利用の方が計算量が少ないですが,
 " 極が球の外 かつ 球の影 "
を求める時にしか利用出来ません.それ以外の問題は基本的に 1. 方式です.

今回は内積利用する物についてまとめて見ます.

Pprojection1.jpg
球C, 図形F は中身の詰まってい無い輪郭だけの物として下さい.

いきなり内積計算に入ら無いで下さい.まず △PCH の各辺の長さをピタゴラスの定理を使って求めます.
Pprojection2.jpg

それから内積計算に入りますが,cosθ の値は求めず正射影ベクトルを使う様にして下さい.その方が分数が出て来ませんし楽です.
Pprojection3.jpg


所で極射影の問題のもう 1つのテーマとして,図の平面を求めよと言う問題が有ります.
Pprojection4.jpg
これも内積で求められます.
Pprojection5.jpg

考え方が極・極線や反転と似ていますね.

円の相似拡大・縮小, etc.

円を相似拡大・縮小する時に,円の方程式: (x-a)2+(y-b)2 = r2 を相手にしては行けません.
relScale1.jpg
円は中心と半径によって決まるので,中心と半径がどこに移動するのかを考える事により求めます.
relScale2.jpg
色々な問題集の解答だとサラッと答えだけが書かれている物が多くて分から無かったのですが,省略し無いで考えると中心・半径を考えよという事です.(実はパラメーター表示したベクトルで考えれば式変形でも求められる.)
回転する時も同様で中心がどこに移るかを考えます.
3角形等の多角形を相似拡大・縮小・回転する時も各頂点がどこに移るかを考えます.

これだけでは寂しいので少し話を変えて他の事も説明します.

まず,特殊な円・球の公式:
 x2+y2-ax-by=0 は原点と (a,b) を直径の両端とする円,
 x2+y2+z2-ax-by-cz=0 は原点と (a,b,c) を直径の両端とする球
です.

次のベクトル方程式:
OXellipse.jpg
是非とも覚えて置きましょう.
普通の発想だと cosθ, sinθ について解き,cos2θ+sin2θ=1 により θ を消去し,更に回転を施す事により楕円だと分かるのですが,試験場でそんな時間は有りません.

又,初心者が陥り易い間違いとして,
ORwrong.jpg

但し,座標値が 0 と 1 の端点を結ぶ線分に対しては, (媒介変数t の値) = (座標値) です.これは直ぐに使いこなせる様にして置こう (どこの値が 1-t に成るかも含めて).

難関大への相加相乗

x_1_x.jpg
は相加相乗平均よりもグラフを思い浮かべて値域を調べた方が良いと思います.いつも x>0 とは限ら無いからです.
或いは,
x_1_x_2.jpg
この絶対値を付けるテクニックは中々自力では思い付き難いでしょう.
又,k>0 の時,
x_1_x_k.jpg
で X≠0 成らば O.K. ですが,例えば,X>1 の時は,1 と k の大小で場合分けをし成ければ行けません.その場合は微分するしか無いです.

それと,a,b>0 の時,
ab01.jpg
これは頻出ですので覚えて置きましょう.初見だと分数式だから私みたいに頭が悪い人だと判別に意外と時間が掛かったりする物です.

アーベルの総和公式の練習

当 weblog の熱心な読者で有れば,
sigma_k_n-k.jpg
で有る事は記憶に新しい事でしょう.今回はこれをアーベルの総和公式を利用して導出して見ます.(導出自体は以前やった物より手間が掛かります.)

abel1.jpg

【アーベルの総和公式】
abel2.jpg

※ p と q の役割は交換しても O.K.
※ 差分項が (前)-(後) で -Δ と成っている事,最後の差分項が単項式で有る事に気を付ければ覚えられ無い事は無いでしょう.

ややこしそうな物,覚え難そうな物は簡単な例で練習して見るに限ります.

偶数項・奇数項だけ取り出す

今回は Σ記号や 2項定理を使って偶数項・奇数項だけ取り出して見ますが,必ずしも入試に必要と言う訳では無いと思うのでパスして貰っても構いません.入試では具体的に書き出したり漸化式や余事象を用いた解法の方が良いでしょう.

確率で扱われる事が多いので,以下,文字 p,q は, 0<p,q<1, p+q=1 とします.床関数を用いていますがガウス記号と同じ物と思って下さい.

・偶数項だけ取り出す.
sigmaEven.jpg

・奇数項だけ取り出す.
sigmaOdd.jpg

Σ記号の上端が何故そう成るかは次表を見て考えて見て下さい.
sigmaFloor.jpg
(上端が 1行目に 〇 を付けた数字, n が 2, 3行目の数字に対応.)

(応用例)
以下,分母が 0 に成ったり tan が定義出来ない物は又別とする.
ド-モアーブルの公式より,
DeMoivre.jpg
実部は,
cosN.jpg
虚部は,
sinN.jpg

これで sin, cos の n倍角は,1. 加法定理でバラす, 2. チェビシェフの多項式(漸化式), 3. 今回の展開公式 と 3つの方法で求められる様に成りました.

tan の n倍角も,
tanN_2016120114261529f.jpg
例えば,
tan3.jpg
平等に分配すれば,
tanABC.jpg
4倍角,5倍角,・・・等も同じ.

パラメーター曲線の面積の求め方 (3通り)

今回はパラメーター曲線の面積の求め方をまとめて見ます.3通り有ると思います.

[1] 扇形近似
parameterS1.jpg
パラメーター曲線の内,極方程式: r = f(θ) で表せる物は迷わずにこれが最良です.計算量が断トツに少ない.

次の方法 [2] と [3] では [2] の方が楽だと言われる事が多いですが,アステロイド等は [3] の方が楽なので 1概にそうとは言えないと思います.

[2] ガウス-グリーンの定理
parameterS2.jpg

[3] (普通に) 置換積分
parameterS3.jpg
x方向に積分するか, y方向に積分するかの判断ですが,オーバーハングしているかどうかよりも計算が楽そうか否かで判断して下さい.線積分と言う概念で符号付き面積を扱えば 1つのインテグラルで表される為,オーバーハングしているか否かは全く問題に成りません.

parameterS4.jpg

∴ 下図の面積は,
parameterS5.jpg

parameterS6.jpg

絶対値記号を付ければ上端下端は無問題ですが (少し乱暴?) .
parameterS7.jpg

実は,
parameterS8_2.jpg
が成り立ちます.これは曲線が負領域に有る時も有効です.
※ 時計回りと反時計回りを思いっきり間違えていたので訂正しました.

複数の解法が有る物は自分でまとめて見ると使い分けが良く分かる様に成ると思います.

パラメーター曲線の回転体の体積についても球面極座標が使える物で有ればそれが最短 (使うかどうかは各人の判断に委ねる) ,それ以外は (普通に) 置換積分ですが,これも 1つのインテグラルにまとめられます.Washer Method を使わ無くても良いのがパラメーター曲線の利点です.
プロフィール

A6033x

Author:A6033x
数検1級取得しました.
個人的な連絡は,hermitvseinsiedler@_@gmail.com
まで(@_@は@に置換すること).
あまり見ないかも知れないのでその場合は twitter の方へ.
twitter:https://twitter.com/A603zw
そもそもネット接続自体減らして行く事になりますが...

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