y = √x から引いた 2接線の交点

先回に引き続いて,図の 2接線の交点を求めて見ます.
GMQM1.jpg
(0 < s < t)
GMQM2.jpg
GMQM3.jpg
GMQM4.jpg
GMQM5.jpg
GMQM6.jpg
0 < s < t と仮定したが, 0 ≤ s < t としても成立するし問題に依っては 0 ≤ s ⋀ 0 ≤ t ⋀ s ≠ t とした方が良い場合も有る.

無理矢理まとめると,
GMQM7.jpg
GM: Geometric Mean (幾何平均)
QM: Quadratic Mean (2乗平均)

所で,0 ≤ α < β として,図の構図は良く知られているので,
GMQM8.jpg
GMQM9.jpg
と求める事も可能.

逆関数では 1:1 対応が重要なので,
GMQM10.jpg
とし無いで下さい.

ex. (y = tan x の逆関数は例えば x ∊ (-π/2, π/2) と指定し無ければ間違いです.存在しません.何かの模試で出た事が有るかも知れませんが出題ミスです.)

2007年度大阪大学数学前期第3問

図の様に座標軸を取っても 1 般性を失わ無い.
2007ou3_1.jpg
2007ou3_2.jpg
2007ou3_3.jpg
故に,
2007ou3_4.jpg
1/(2r) の大きさで場合分けすると, Q ∊ (半直線OP) なので図の様に成る事が分かります.
2007ou3_5.jpg
今度は r を固定して θ を動かすと, (0<1/(2r)<2r の時しかやりませんが)
2007ou3_6.jpg
以上から, Q ∊ (OA に直交する直線上)
ですし, (2) も,

2007ou3_7.jpg
と簡単に解けてしまいます.

sec や csc は底辺や対辺が分かっている時に斜辺を求める役割も持つ訳です.割 3 角関数に習熟していたら自然な発想だと思うのですが他の解答でこの様に解いているのを見た事が無いです.

2接線の交点が (HM, 1/AM)

0 < s < t とします.(0 < t < s としても良いし,問題に依っては, 0 < s ⋀ 0 < t ⋀ s ≠ t とした方が良い場合も有る)

実は図の U の座標は綺麗な形に成ります.
hmperam1.jpg
hmperam2.jpg
hmperam3.jpg
hmperam4.jpg
hmperam5.jpg
hmperam6.jpg
HM: Harmonic Mean (調和平均)
AM: Arithmetic Mean (相加平均)

入試対策として図の太線部分の面積を計算練習として求めて見るのも悪く無いでしょう (計算だけなので省略します).
hmperam7.jpg

放物線の場合は誰でも出来る (本番では意外と出来無かったりするがその場合は合格が非常に危うく成る) ので放物線以外の
 y = 1/x, y = ln x, y = ex
等での出題にも対応出来る様にして置きましょう (現に S46 (1971 年度) 大阪大学理系数学第 7 問は y = x + 1/x での出題で有った).
1 般の y = xn や y = f(x) も狙われるかも知れませんね.曲率円の中心や曲率半径等.
こう言う題材で受験生を篩に掛けようとしたら計算を重くするしか無い訳です.

y = √x の場合: http://denofhardworking.blog.fc2.com/blog-entry-789.html

(√tan x)', (√cot x)'

∫ √tan x dx, ∫ √cot x dx は以前扱ったのですが,今度は √tan x, √cot x を微分して見ます.すると,

difsqrttan1.jpg

difsqrttan2.jpg

これらにインテグラルを付けて両辺を逆にして見ると,

difsqrttan3.jpg

積分公式の誕生です.

逆に問題として出された時はまともな方法だと,
 u = √tan x, √cot x
と置換するのですが,du と dx の関係を見る為に,
 du = (√tan x)', (√cot x)'
と結局同じ微分計算をします.それ成らば丸毎覚えてしまっても大して変わら無いと思います.


difsqrttan4.jpg

は u = √x と置換するので 1 応 √(単項式) は丸毎置換と言う定石でも有るのでしょうかね.

∫ 1/(sin^m x cosⁿ x) dx

intcscmcosn1.jpg
この積分は分子の 1 を敢えて,
 1 = sin2 x + cos2 x
と戻す事に依り計算可能です.
intcscmcosn2.jpg
この様に分母の次数が下がって行くのでこれを繰り返せば,
intcscmcosn3.jpg
これらの積分に帰着されます.

その内の 2 つ
intcscmcosn4.jpg
先回やりました.

残りの 2 つは
intcscmcosn5.jpg
,
intcscmcosn6.jpg
後は部分分数分解です.

やはり指数 m, n はそこそこの値でしか試験では出題され無いでしょうね.

∫ sec^m x tanⁿ x dx, ∫ csc^m x cotⁿ x dx

intsecmtann1.jpg
この積分は,
intsecmtann2.jpg
を利用するのだろうと予想は出来ますが,
intsecmtann3.jpg
指数を 1 つずつ動かせる訳では無いので m, n の偶奇に応じてどうするかをしっかりまとめて置か無ければ成りません.

又やっていく内に分かるのですが試験として出されるので有れば,指数 m, n はそこそこの値での出題かもしくは 1 般の文字で途中までの計算かのどちらかでの出題しかされ無いだろうと思います ( (u2±1) のべきの展開が大変だから).(日本の教育課程だと割 3 角関数をやら無いから出題率は更に下がる)

i) m が偶数の時,
n の奇偶に関わらず,
intsecmtann4.jpg

ii) m, n が共に奇数の時,
intsecmtann5.jpg

iii) m が奇数, n が偶数の時,
intsecmtann6.jpg
sec を全部展開すれば,∫ secⁿ x dx に帰着されます.
(改めて指数を n と置き直す)
intsecmtann7.jpg
因みに積分漸化式の事を英語では reduction formula と言うそうです.


intsecmtann8.jpg
こちらも同様
intsecmtann9.jpg
intsecmtann10.jpg

i) m が偶数の時,
n の偶奇に関わらず,
intsecmtann11.jpg

ii) m, n が共に奇数の時,
intsecmtann12.jpg

iii) m が奇数, n が偶数の時,
intsecmtann13.jpg
やはり,∫ cscⁿ x dx に帰着されて,
(指数は新たに n と置き直して)
intsecmtann14.jpg

Σ [m=1,n] m^k を求める裏ワザ

k を非負整数として,
bekijowa1.jpg
と置きます.

実はこの Sk を求める裏ワザ (後で成り立ちを軽~く説明する) が有ります.それは,
bekijowa2.jpg
この 2 項係数 (パスカルの 3 角形) で符号を交互に変えながら並べた行列を解けば Sk は求まります.
コンピュータが使える時は Excel 成り wolframalpha 成りに放り込めば逆行列を求めてくれるのでそれはそのまま nk の係数と成ります.手計算の場合は上の行から順に求めて行けば良いでしょう.

Sk は, (k+1) 次式と成ります.S4 まで求めて見ます.その際,最高次の係数{(最高次)-1} の係数1 次の係数に注目しましょう.
先に言って置くと, 1 次の係数はベルヌーイ数 Bk と 1 致し (但し B1 以外), B1 とは符号だけ違います.1 次の係数自体をベルヌーイ数と呼んでいる (?) 文献も有るのですが,ベルヌーイ数の定義自体他の数式で成されるのでベルヌーイ数と 1 致すると言って置いた方が安全な様な気がします (私自身今月に入って知ったばかりなので良く分から無いし間違っているかも知れません.)
k = 0
bekijowa3.jpg
k = 1
bekijowa4.jpg
B1 だけ符号が違う事に注意して下さい.
k = 2
bekijowa5_2.jpg
k = 3
bekijowa6.jpg
k = 4
bekijowa7.jpg
実は, Sk の係数に関して,
bekijowa18.jpg
と成ります (準最高次は正式な用語では無いので試験の答案としては用い無い方が良いと思う).これらの証明は大学入試でも見た事が有る様な気がします.(証明は差分 Σ{mk-(m-1)k} を取って数学的帰納法)
ベルヌーイ数 Bk を求める裏ワザ (定義式では無いので裏ワザとした) も有ります.これも 2 項係数 (Pascal の 3 角形) 利用です.符号は変えません.
bekijowa12.jpg
として, k = 1
bekijowa8.jpg
これだけ S1 の 1 次の係数と符号が違っている事に注意です.
k = 2
bekijowa9.jpg
k = 3
bekijowa10.jpg
k = 4
bekijowa11.jpg
実は, k が 3 以上の奇数の時は,
 Bk = 0
です.

[ Sk の行列表示の導出法]
差分を取ります.左辺は文字のままの 1 般項,右辺は代入値を計算して行きます.(右辺はパタパタ消えるがこう言う物を英語では telescoping series と言う)
差分を取る指数が (k+1) で有る事に大注意です.
k = 1
bekijowa13.jpg
k = 2
bekijowa14.jpg
k = 3
bekijowa15.jpg
k = 4
bekijowa16.jpg
以上を行列表示すれば,
bekijowa2.jpg
と成る事が分かるでしょう.

1 般の k だと,
bekijowa17.jpg
ですが,ここから先は自分でやって見ようとしか言えません.眺めて理解出来る物でも無いし nCr の r が上がって行く様にするか下がって行く様にするか, (-1) の指数をどうするか等各自の好みが大きく違うからです.

bekijowa18.jpg
これの証明はこの 1 般式を計算して行く事で出来るでしょう.

参考
Bernoulli number - Wikipedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_number
Faulhaber's Formula and Bernoulli Numbers | Algebraic Calculus One | Wild Egg (by Wild Egg mathematics courses)
https://www.youtube.com/watch?v=jx_JR5xD9Ko
bernoulli numbers in pascal Triangle (by Johnmark Liboon)
https://www.youtube.com/watch?v=xYaXW9xj2Sc

Bernoulli と言うスペルにも注意ですね.
べき乗和は 2000 年度東大後期第 1 問にも出題されました.聖文新社の 50 ヵ年だと本記事レベル以上の背景知識ゴリ押しで解いているのですが単純に係数比較して行くだけでも解けます.

2001年度東大数学後期第3問 (草関数, サンドイッチの定理の問題)

難易度 D# らしいですが Wrapping Function の方の草関数が分かればこの問題は解く事が出来ます.又サンドイッチの定理も使います.
Sandwich Theorem (by Mandhan Academy)
https://www.youtube.com/watch?v=n9WHN8IO4I4

2001utkouki3_1.jpg
とします.

2001utkouki3_2.jpg
から,
2001utkouki3_3.jpg
です.

様子を掴む為にまずは y = f(x) のグラフから考えます.
2001utkouki3_4.jpg
(k -> ∞ の) 極限を取るので f(x) は単調増加部分を考えれば良く,整数係数なので, f(k) = n (> 0), f(k+1) = n+m (> 0) と置いても良いでしょう.

次に P(x) を考えるのですが,端点を考えると良いです.
2001utkouki3_52.jpg
2001utkouki3_62.jpg
草関数で表すと,
2001utkouki3_7.jpg
つまり, x ∊ [k, k+1] として x を連続的に変化させると P(x) は単位円に巻き付いていると言う事に成ります.そして両端点も (1, 0) で 1 致している.
2001utkouki3_8.jpg
c は整数なので P(x) の全長に影響を与え無いから c = 0 として考えても良い.

今,次図の様に長さ L の弧 I が円周上に有るとします.始めは I は (1, 0) をまたが無いと考えます.
巻き付いている P(x) に対して I の部分だけ色が塗られていると考えましょう (画像では太線にした).n 周目から始まり, n+1 周目, n+2 周目, ..., n+m 周目と I の部分だけ P(x) に色が塗られていると考えるのです.
2001utkouki3_9.jpg

この巻き付いた P(x) をほどいて伸ばし,2π で割り,新たな座標軸を用意して y 軸に貼り付けます.
その色の付いた y の区間に対応する x の区間を全て足し集めます.これが Tk です.
そして, k -> ∞ の極限を取った時の Tk の値が L/(2π) で有る事を示せ.と言うのがこの問題の意味です.分かりましたか ?
2001utkouki3_10.jpg
図で (or 図より) i = 1, 2, ... , m で有る.

f(x) は 2 次式なので, xαi , xβi は求められますし後は, xβi-xαi から i を動かして Σ 計算に持ち込めば良いのでしょう.

2001utkouki3_11.jpg
と置くと,
2001utkouki3_12.jpg
同様に,
2001utkouki3_13.jpg
故に,
2001utkouki3_14.jpg
このままでは Σ 計算出来ないので,何とか工夫出来ないか考えます.

まず分子は,
2001utkouki3_15.jpg

分母は定数部分はどうでも良いので,変数部分: n+i-1+β, n+i-1+α を何とかする事を考えます.すると,
2001utkouki3_16.jpg
より,
2001utkouki3_17.jpg

f(xβi), f(xαi) を大胆に評価して,
2001utkouki3_18.jpg
より,
2001utkouki3_19.jpg

次に m をどうにかする事を考えます.m の定義に戻ると,
2001utkouki3_20.jpg
(ここで余談ですが 2 次関数の時, f(k+1)-f(k) = 2ak+a+b, f(k)-f(k-1) = 2ak+b-a は公式にしてしまった方が良い様な気がします.最近の weblog 更新で良く使っている様な気がします.) 最初に上げた時は間違えていたので赤字で修正しました.

故に,
2001utkouki3_21.jpg
ここで,
2001utkouki3_22.jpg

より,
2001utkouki3_23.jpg

で有るから, Sandwich Theorem より,
2001utkouki3_24.jpg

I が (1, 0) をまたぐ時を考えます.同様にでは済みません.
2001utkouki3_252.jpg
,
2001utkouki3_26.jpg
1 周する時の色が塗られた部分が飛び飛びです.又, i 周目の最後と i+1 周目がつながっています.
 xβ1-k と xβi-xαi-1 (i = 2, 3, ... , m) と (k+1)-xαm
と両端は別扱いし無ければ成りません.頑張れば計算出来るかも知れませんが...

そこで色が塗られてい無い部分を色が塗られたものとして考えれば (1, 0) をまたが無い時の結果を利用する事が出来ます.

(再掲. x, y の値は異なる)
2001utkouki3_10.jpg
図では (1, 0) をまたが無い時で色が塗られている部分を足し集めた.(1, 0) をまたぐ時は x の区間で色が塗られてい無い部分を足し集める. (1, 0) をまたぐ時の色が塗られてい無い部分は (1, 0) をまたが無い時の色が塗られている部分に対応している.

(1, 0) をまたが無い時の I の長さが L で有り,この時の極限 Tk が L/(2π) だったので,
(1, 0) をまたぐ時は I では無い部分の長さが 2π-L で有り (∵ 単位円の円周は 2π で有るからそこから L を引く), この時の色が塗られてい無い部分の x の区間を足し集めて極限を取った物を Tk' とすると,
2001utkouki3_27.jpg
と成ります.
繰り返すとまたが無い時の長さが L で極限はそれを 2π で割った物,またぐ時はまたが無い部分の長さが 2π-L なので極限はそれを 2π で割った物です.

結論は,区間 x の全体の長さが, (k+1)-k = 1 なので,
 (全体)-(色が塗られてい無い部分) = (色が塗られた部分) から,
2001utkouki3_28.jpg
なのですが, 4 則演算と極限を取る操作の順番を入れ替えては行け無いので答案には,
2001utkouki3_29.jpg
とでも書いて置けば良いでしょう.

東大後期の数学の問題は基本を組み合わせれば解ける問題が多いです.大学入試の数学で本当に難しいのは阪大挑戦枠や京大推薦等の問題だと思います.現時点の私では全く歯が立た無い.東工大 A.O. 等も難しい.

微分方程式dy/dx={m(ax+by)+c}/{n(ax+by)+d}の解の公式

DEshortcut1.jpg

この形の微分方程式には解の公式が有ります.海外勢は暗記させられている様です.
DIFFERENTIAL EQUATIONS SHORTCUT//TRICK FOR NDA/JEE/CETs/COMEDK/SOLUTION IN 10 SECONDS
https://www.youtube.com/watch?v=KoCjEmXLUC4
例に依って証明が載ってい無いので解いて見ます.(他の全ての動画を観ても証明が載ってい無いと言う事は丸暗記強要か?)

DEshortcut2.jpg
これが解ける形なのは良いですか?
左辺に u, 右辺に x を集めます.
DEshortcut3_2.jpg

途中で分母を払う事も出来ますが次に示す公式の形にする事を考えて最後に払いました.

さて,微分方程式
DEshortcut1.jpg
の公式は次の形です.
DEshortcut4.jpg
最初のビデオを観て貰った方が良いのですが,左に x, y; n, m; d, c の 6 つの文字・数値を並べます.値は分母すなわちお母さんが先です.
右は ax+by の x, y に左の値を代入した物を並べます.
DEshortcut5_2.jpg

スーパーヘキサゴン, !n, サンドイッチの定理, DI Method とは?

 スーパーヘキサゴンとは?
海外では 3 角関数の基本公式を覚える時は正 6 角形を書いてそこに割 3 角関数を含む 3 角関数を記入して行く Super Hexagon 成るテクニックで覚えるそうです.
Super Hexagon for Trigonometric Identities (by Don't Memorise)
https://www.youtube.com/watch?v=T7D1W1oD8wo
How do we learn all trigonometry formula using a hexagon (by Mr. Zalim)
https://www.youtube.com/watch?v=tOTGlvCtnpk
ですが,これは特に覚える必要は無いですね.3 角関数の基本公式は使っている内に覚えてしまうので.スーパーヘキサゴンは外国人と会話する時に話のタネ位には成るのでは無いでしょうか?


 !n とは?
乱列,モンモールの問題,完全順列,ワインの目利き,ゴミ出しの復讐,ラブレター問題と色々な言われ方をしている問題ですが,これは,
 !n
と前にビックリマーク (エクスクラメーションマーク) を置く事で表現する事が出来ます.ビックリマークなだけにビックリです!
 !0 = 1
 !1 = 0
 !2 = 1
 !3 = 2
 !4 = 9
 !5 = 44

ですね.
Subfactorial, a recursive approach (by blackpenredpen)
https://www.youtube.com/watch?v=dH7kt-xAlRA
subfactorial, an explicit approach (by blackpenredpen)
https://www.youtube.com/watch?v=R_bBfBqHiUA

Hyper factorial と言う概念も有ります.
 H(n) = nn・(n-1)n-1・・・・・22・11
です.
What is a Hyperfactorial? (by blackpenredpen)
https://www.youtube.com/watch?v=UDHGI-jRwUw


 サンドイッチの定理とは?
Sandwich Theorem (by Mandhan Academy)
https://www.youtube.com/watch?v=n9WHN8IO4I4
に依ればハサミウチの原理の事を海外では Sandwich Theorem と呼んでいるそうです.


 DI Method とは?
DI Method とは所謂 USA 方式の部分積分法の事です.詳細はビデオを観て下さい.
integration by parts, DI method, VERY EASY (by blackpenredpen)
https://www.youtube.com/watch?v=2I-_SV8cwsw
DI Method は最後の行が水平の場合はインテグラルが残り,ナナメの場合はインテグラルが残ら無い事に注意しましょう.

DI Method の記事を書こうとは思っていたのですが,大学入試だと個別に積分公式として覚えた方が良い物ばかりでそこまでこの方法が重要に成る問題が見付から無かったので書か無い事にしました.f(x) を整式として単に f と書く事にすると,
 ∫ f eax dx, ∫ f e-ax dx

 ∫ eax cos bx dx, ∫ eax sin bx dx
この 2 つは海外勢も公式として覚えていますね.
INTEGRATION SUPER SHORTCUT //NDA/BITSAT/CETs/JEE/COMEDK/TRICK
https://www.youtube.com/watch?v=giRWysAIJCg

 ∫ f cos ax dx, ∫ f sin ax dx
この 2 つは 3 角関数 を 1 回積分したら f, 3 角関数共に微分して行けば良い (符号は上手い事相殺される).

これらは個別に公式として覚えて置くべきです.

DI Method には別名が多数有ります.
JEE/NDA || Tabular / DI method/ Vedic Method indefinite Integration By Parts || Part 1 (by AVTE)
https://www.youtube.com/watch?v=rw_C-G_I_vI
こちらの動画タイトルに明示されている岳でも、
Tabular Method
Vedic Method

と有りますし,
Integration By Parts - Tanzalin Method (by Jee Panda)
https://www.youtube.com/watch?v=uqDt0D0MlMs
こちらのタイトルでは,
Tanzalin Method
と呼ばれています.

草関数WWW part2 - Lambert W function

(勿論草関数は正式な名称では無い)

part1 - Wrapping Function に引き続いて 2 つ目の草関数はランベルト (ランバート) の W function です.
大学入試に関しては知ら無くても良いです.むしろ知っていると邪魔に成る知識かも知れ無いです.有名な問題で,
xy = yx の整数解が (2, 4), (4, 2) のみ有る事を示す問題,
eπ < πe を示す問題
が有りますが草関数は全く必要無いです.

w-func1.jpg
の逆関数を草関数と言い,大文字の W を用いて表します.
w-func2.jpg

1 般に f-1 = g と置くと,
w-func3.jpg
すなわち,
w-func4.jpg
です.実際の運用上は x を g(x) と置き換えても外から g を被せても x が出力されると言う認識が大事で,
w-func5.jpg
x に草を生やしても,外から草で囲っても x が出力されます

W(x) がどう言う関数かを実感する為まずは xex のグラフを描いて見ます.その為に微分して行きます.
逆関数では 1 : 1 の対応が大事なので 1 応,
w-func14.jpg とします.
w-func6.jpg
w-func7.jpg
(0, 0) に置ける接線は,
w-func8.jpg
又,
w-func9_2.jpg
∴ f(x) のグラフは,
w-func10.jpg
∴ W(x) のグラフは f(x) の逆関数なので y = x に関して折り返して,
w-func11.jpg

f(x) では,
w-func12.jpg
だったのが W(x) では,
w-func13.jpg
と成りました.

草関数の何が嬉しいのかと言うと次の様な方程式の解が求まると言う事です.
w-func15.jpg
草関数は wolframalpha では productlog(x) とタイプして計算する事が出来ます.

次の 2 つの方程式は第 1 手で y = tx と置けば解く事が出来ます.
w-func16.jpg

これらも草関数を用いて表記する事が出来ます.
前者:
w-func17.jpg
後者:
w-func18.jpg

xex = 1 成る x をオメガ定数と言い Ω で表します.すなわち,
 ΩeΩ = 1, Ω = W(1)
で,オメガ定数は,
 Ω ≒ 0.56714・・・
位の値です.
Newton's method and Omega Constant (by blackpenredpen)
https://www.youtube.com/watch?v=EjUp_5X6io4

微分:
Derivative of Lambertghini W function, FAST
https://www.youtube.com/watch?v=LyEPB6Wxc_U

x2ex = 2, x+ex = 2 等も草関数を用いれば解く事が出来ます:
the Easiest equations on youtube! (thumbnail by Jonathan R.) (by blackpenredpen)
https://www.youtube.com/watch?v=GKdEbFO-5lY

参考:
Solutions to x^y=y^x (by blackpenredpen)
https://www.youtube.com/watch?v=PI1NeGtJo7s
Graph of x^y=y^x (by blackpenredpen)
https://www.youtube.com/watch?v=z65wrFB0W-Y
graph of y=x*e^x, (preview of graphing the Lambert-W function) (by blackpenredpen)
https://www.youtube.com/watch?v=YuLgC4syHNI
x^x=2, answer in exact form!
https://www.youtube.com/watch?v=WWyMRmV1hLg
x^x=2, answer in exact form, remake! (by blackpenredpen)
https://www.youtube.com/watch?v=sWgNCra93D8
Solving x^x=i, ft. Octopus (by blackpenredpen)
https://www.youtube.com/watch?v=vCdChDmMYL0
Solution to x^x=y^y, ft. Lambert W Function (by blackpenredpen)
https://www.youtube.com/watch?v=Wxm5mfZ8TQo
Dad vs Uncle (by blackpenredpen)
https://www.youtube.com/watch?v=fIkgagTdrU0

収束判定法のまとめの海外リンク

数検 1 級 1 次でも出て来ますが大学教養数学範囲の収束判定法は取っ付き難い印象が有ります.ですがこちらの海外サイトに体系的にまとまっています.

List of Series Tests
https://math.oregonstate.edu/home/programs/undergrad/CalculusQuestStudyGuides/SandS/SeriesTests/test_summary.html
・Divergence Test
・Integral Test
・Comparison Test
・Limit Comparison Test
・Alternating Series Test
・Absolute Convergence Test
・Ratio Test
・Root Test

参考にすると良いでしょう.

blackpenredpen 氏に依る演習問題も豊富です.
Stewart Calculus, Sect 7.8, Improper Integral
https://www.youtube.com/playlist?list=PLj7p5OoL6vGyIT5IAyMu-FwE4eXPHyq2L
Power Series Review (Nagle's Sect8.2)
https://www.youtube.com/playlist?list=PLj7p5OoL6vGyz36f5D4XOdx-ylNE76tS1
Calculus, Sect 11.2, Series (Geometric, Telescoping & Harmonic)
https://www.youtube.com/playlist?list=PLj7p5OoL6vGz-gRFC-mBH8zfU2l19pqSX
Calculus, Sect 11.3, P-Series & Integral Test
https://www.youtube.com/playlist?list=PLj7p5OoL6vGzryrUKqPNlo9UrnIAu-PR7
Calculus, Sect 11.4, Direct & Limit Comparison Test
https://www.youtube.com/playlist?list=PLj7p5OoL6vGzaL3PztMCCeJkcwkhybwUS
Calculus, Sect 11.6, Ratio & Root Test
https://www.youtube.com/playlist?list=PLj7p5OoL6vGwoDIUkd8ksmg1lmcHrI0aG
Calculus, 11.7, Strategies for testing series
https://www.youtube.com/playlist?list=PLj7p5OoL6vGyAOT2We6FAS4F_5H3UcxzF
Calculus, Sect 11.8, Radius & Interval of Convergence of Power Series
https://www.youtube.com/playlist?list=PLj7p5OoL6vGyFA73OVhNZi6L8Cvj5_n-V

Khan Academy が勉強学習教育系の YouTuber の先駆けで有る事は否め無いのですが数学分野は今は完全に blackpenredpen 氏に軍配が上がります.昔の Khan Academy の公式サイトはトップページで全アップロード動画の 1 覧があったのですが今はタブレットからなのかスマホ閲覧用なのかフォントが大き過ぎて動画 1 覧も無いからどこに何が有るか分から無い.物理等も Michel van Biezen 氏から学べます (但し力学等は力のベクトルを描く時に始点を大事にしてい無い,すなわち物体の重心から描いてい無いので日本の大学入試に対しては使い物に成ら無いと思う).
動画の内容もレベルが低い物から高い物まで有って何でも増やせば良いと言う物でも無いと思う.manavee が無くなったのも個人的にはレベルに関係無く動画数を増やし過ぎたからだと思います.簡単な内容は態々ビデオを観なくても学べるしその方が効率が良い.Khan Academy はまだ極 1 部 blackpenredpen 氏が取り上げてい無い内容も有りますけれどね (ラプラス変換でのディラックのデルタ関数等).

ブリッジ回路を Nodal Voltage Method で解く

ブリッジ回路を Nodal Voltage Method (Nodal Analysis) で解いて見ます.

図の位置に電位 x, y, 0 と仮定します.

NVbridge1.jpg

NVbridge2.jpg

NVbridge3.jpg

NVbridge4.jpg

NVbridge5_3.jpg

NVbridge6.jpg

NVbridge7.jpg

NVbridge8.jpg

NVbridge9.jpg

NVbridge10.jpg

Mesh Current Method (ループ電流法) と比べると未知数が 2 つだけだったから簡単?

Nodal Voltage Method (Analysis)

実は Nodal Voltage Method (Nodal Analysis) と呼ばれる電気回路の解法が有ります.weblio や alc の英辞郎でタイプしても訳語が出て来無いので日本人には殆ど知られてい無い方法だと思います.

Nodal Voltage Analysis of Electric Circuits
http://mathonweb.com/help/backgd5.htm

この Nodal Voltage Method と言うのは言って見れば電位の必殺技の抵抗回路版と言っても良いでしょう.

例として次の回路で立式して見ましょう (上のリンク先で Example 2 の数値を文字化した物).
NV1.jpg
図の様に結節点の電位を x, y, z, 0 と仮定し,
NV2.jpg
と立式出来ます.式の次元は電流なのは良いですね.結節点に流入 or 流出 ( (-1) を掛ければ同じなので) する電流の総和 = 0 と立式します.
実際の運用上は指で辿って,
 (分子) = (スタート地点の電圧) + (途中で電池を通る時に上がったり下がったりする電圧) - (ゴール地点の電圧)
を直列合成抵抗で割れば問題無いです.
例えば上の第 1 式は,x からスタートして,第 1 項が左回りに z まで,第 2 項が真下に z まで,第 3 項が右に y まで辿っています.他も同様です.

行列表示にすると,
NV3.jpg

1/Ri = Gi とするコンダクタンス [単位: ジーメンス S = Ω-1] を導入すると,
NV4_2.jpg
これも対称行列と成ります.
コンダクタンスの conduct のコアイメージは伝えるなので電気を伝えると言う事でしょう.確かに R が小さい程 G は大きく成るので導電性は高く成ります.

立式だけ説明したかったのでここまでです.

さて大学入試での直流の抵抗の電気回路の問題はミルマンの定理で解くのが最短だと思います.
NV5.jpg
NV6.jpg
ループが 2 つの回路だとミルマンの定理が使える形に還元出来ます.

ミルマンが使え無いと成るとこの Nodal Voltage Method か Mesh Current Method (ループ電流法) に成るのですが大学入試だと電卓が持ち込めず手計算なのでそこまで込み入った回路は出て来無いでしょう.

電気回路を 1 通り学べるプレイリストも YouTube に有ります.
ELECTRICAL ENGINEERING 3 CIRCUIT ANALYSIS (by Michel van Biezen)
https://www.youtube.com/playlist?list=PLX2gX-ftPVXWv1eWntPcZtztrmwYBiBQY
ELECTRICAL ENGINEERING 4: CIRCUIT THEOREMS (by Michel van Biezen)
https://www.youtube.com/playlist?list=PLX2gX-ftPVXUK_lbDhCMY1Bgoz0O4gZPi
立式する時のプラスマイナスの流儀が違っている場合も有るので注意して下さい.

又高校物理には出て来ないのですが定電流を流す回路素子と言う物が有り,それは等価回路として,
NV7.jpg
図の様に変換されます.ビデオを見る上で使われるので知って置くと良いでしょう.

ブリッジ回路をループ電流法で解く

ループ電流法 (Mesh Current Method) に付いてきちんと勉強し直したのでそれでブリッジ回路の中心を下から上に向けて流れる電流 i を求めて見ようと思います.

mcmbridge1.jpg

ループを全て時計回りに仮定するのがポイントです.その理由は,
mcmbridge2.jpg
式の形を見ると,全て,
mcmbridge3.jpg
と成っていますね.これが全てのループを時計回りに仮定する理由です.
これを行列表示にすると,
mcmbridge4.jpg
翌々観察すると対称行列と成っている事が伺えます.これも仮定の仕方のおかげです.
逆にここまでの事が良く分かっていればいきなり行列表示で立式しても O. K. です.どこがプラスでどこがマイナスかも図と式を観察していれば掴めて来ると思います.

後は解きます.3 次の正方行列の公式も有るのですが,ここまで込み入っていると 1 つずつ determinant (行列式) を計算して行った方が良いでしょう.
mcmbridge5.jpg
真ん中の抵抗を R5 では無く r と仮定した事で Σ[cyc] を用いて表現出来て式がスッキリした形と成りました.

第 1 列で余因子展開;
mcmbridge6.jpg

第 2 列で余因子展開;
mcmbridge7.jpg

第 3 列で余因子展開;
mcmbridge8_2.jpg

mcmbridge9.jpg

mcmbridge10.jpg

mcmbridge11_2.jpg

mcmbridge12.jpg

大学入試で 1 般の文字で出題される確率は極めて低いでしょう.これだけの計算は全くの初見だと時間が掛かるから他の問題も出して他のチカラも測定したい当局側からしたら不都合ですし答えを知っているだけで有利に成ってしまい知識偏重に成ってしまいますからね.

2018 年度秋にやった英語参考書

以下思うがままに挙げて行きます.やった順番でも難易度順でもやるべき順番でも何でも有りません.

・中学生用の英和・和英辞典
どのメーカー製のが良いかはステマに成るし専門家でも無いので言いません.
中学生用の英語の辞書は本当に重要な単語しか載っておりませんし通読用に適しています.色やフォントの大きさ太さで重要な所は強調されています.最近の大学入試でも特に基本単語の意味や使い方を重視する様な大学に対しては有効だと思います.例えば cook は加熱する調理にしか使わ無い等と言う事が書いて有ります.
私が買った辞書には自由英作文やスピーチに関するコラムも有り語数は 100 語を超えています.中学レベルでもこれだけ書けるのだと実感出来るでしょう.
この記事を書いた時期はまだ春先ですので来年大学受験の方も読んで見るのも悪く無いと思います.

・大学受験スーパーゼミ 徹底攻略 超入門英文解釈の技術60 桑原 信淑 (著) 桐原書店
超入門と銘打ってはいますがそれ程簡単でも無いと思います.諺やスピーチの 1 節が多い.
not or や not and のベン図での説明等も有りますし意外と見落としていた事を発見出来たりもするのでは無いでしょうか?
CD も付いていますし英語は量なので読んで損は無いと思います.又例題演習の多くが高校入試からの出題ですがこんなに難しいのかと実感も出来るかも知れません.有名私立高校からの出題も有り彼等彼女等は入学時点でそれ位の難易度の英文が読める学力が有ると言う事も示しています.

・ビジュアル英文解釈 (駿台レクチャーシリーズ) 伊藤 和夫 (著) 駿台文庫
以前英文解釈本は CD 付きのが良いと結論付けたと書いた様な気がしますがこれだけは例外です (と言うか私が色々な情報に振り回されていた?).説明が物凄く詳しい.CD 付きの物は音声が有ると言う付加価値が有るのですが,結局 CD の付いてい無い有名な他の本だと説明すべき箇所を省略しているからあの薄さに成っているのだと実感出来ました.訳出のポイントも有りますしホームルームはまさに学生が陥り易い誤りを提示し考察した物と成っています.
英文を読む上で最も重要なのは ○○構文等と名前の付いた物に習熟する事では無く修飾関係だと思います.
englishreading.jpg
この様に修飾関係がベクトルでリアルに生生しく見え無ければ成ら無いと思います.
同じ著者の『英文解釈教室』ですが私も最初は大は小を兼ねると思って取り組んだのですよ.ですが時間対効果が悪過ぎて不要だと思います.ビジュアルに載ってい無くて解釈教室にしか載ってい無い事項は無い.決して解釈教室が身に付いてい無いと言う事は無いと思います.獲得形質は遺伝し無い話や動物園はいつ行っても今までずっとそこにいたのにその時まで気付か無かった動物がいると言う話は昔の東大の問題だと確認する位には読み込みました.数年前の英検 1 級の 1 次に受かって東大英語があの点数で不満を漏らしていた頃が 1 番解釈教室を読み込んでいた時期です.
後最近の本では誤りとされている事も書いて有ります.
 Fortunately, ~ は文修飾で「幸運な事に ~」 だが,
 It is fortunate that ~ は「that 以下は幸運だった」と言う意味合いです.
伊藤和夫自身が『英文解釈教室』の反省の上に立って書いたのが『ビジュアル英文解釈』だとどこかで読んだ記憶も有ります.
後伊藤英語は神格化する事無く功罪を語れ無いと駄目だと思います.特に英語の先生で伊藤英語を神格化している様な人は地雷だと思います.どうしても解釈本を読んだ直後は英語を読むスピードが落ちる.21 世紀に入ってから入試の英語は量が増えたのでとにかく量をこなさ無いと時間が足り無くなります.どうしても難解な英文を読みたいので有れば解釈教室よりも後述するやまていの方が良いと思います.

・試験にでる英文解釈―死命を制するツボの公開 (青春新書) 森 一郎 (著) 青春出版社
絶版本と成ってしまったのが残念ですが,嘘偽り無く短時間で解釈文法を学ぶので有ればこれです.
最初の方から副詞は名詞を修飾する事があると書かれて有ります.世の中に出回っている大抵の文法書や解釈本には副詞は名詞以外を修飾すると書かれているので嘘ばかりが書かれている事が分かります.
それと仮定法の説明が面白い.そもそも仮定法と言う文法用語が誤りで叙想法と呼ぶべきだと言う事が書かれています.
ビジュアルもそうですが 700 選との親和性も高いです.仮定法 (叙想法) で譲歩や命令を表す用法もきちんと書いて有りますしこれは入試でも頻出です.やり直し英語や大学受験外で英語ばかり勉強している人が苦手に成りがちな所です.
CD も付いているので暗唱例文集として用いる事も出来ます.

・新英文読解法: 本格的な読解力を確実に 中原 道喜 (著) 聖文新社
英文読み込み用に.格調高く教訓的な文章が多い印象.CD や MP3 等の音声が無いのがキズ.
英語の諺も載っています.英語の諺はこの本や PSS (P-Study System) に載っている物で充分だと思います.後述する竹岡氏の『必携英語表現集』の終わりの方にも載っています.それに諺の英語での言い回し片を知ら無くてもその諺が表すニュアンスを上手い事表現する事を入試では見ていると思います.

・新々英文解釈研究(復刻版) 山崎 貞 (著), 佐山 栄太郎 (著) 研究社
これは英文が物凄く豊富です.網羅性と言うのか細かい所とでも言うのか,他の本では載ってい無さそうな所や誤魔化している所がかなり有る様に感じます.私自身まだ 1 回しか通読してい無いのですがそれでも,
 It is with/in ... as with/in ~
等.
日本語訳も難しく私達が日常使わ無い語彙ばかり用いられています.
完璧にしたら恐ろしい学力が付くのでは無いのかと思います.解釈教室読む位成らこちらを読んだ方が良いと思います.

・必携英単語LEAP 竹岡 広信 (著), チャート研究所 (編集) 数研出版
竹岡先生が 11月に出した英単語帳です.TEAP と LEAP を掛けてはるんだと思います.
何問か抜粋して見ようと思います.
( ) a ticket from my pocket (提示するために) ポケットから切符を取り出す
( ) Christmas クリスマスを祝う
( ) great respect とても尊敬されている (尊敬を集める) (※ collect, gather では無い,念の為)
これらが分から無ければ本屋さんへ GO ! です.
正誤問題も 1 題有ります.
a a little difficult problem
(世間的には誤植と言うらしい.)
唯 LEAP の欠点としては音声のダウンロードの分かり難さです.ダウンロードのページはググっても出て来なくて書籍に載っている URL を直打ちし無ければ成りません.又メールアドレスの登録も必要.登録したら DL 出来るページの URL (数時間か数日だったのか忘れたが有効) が送られて来ると言う仕組みです.決してアプリの登録は要ら無いです.
音声も DL 出来て値段が安い.参考書を評価する時には値段も考慮に入れるべきだと思います.

直リンして良いのか分からないのですが,筆者からの言葉:
『必携 英単語 LEAP』に抱く熱き思い
https://www.chart.co.jp/subject/eigo/cnw/86/86-1.pdf

秋にやった訳では有りませんが今まで言及してい無かったので序でに...
英単語帳のお薦めは,ドラ単,鉄壁,東大英単語ですね.英 -> 日と第 1 義だけを覚えれば良い時代は終わって 1 語 1 語本当に深く理解する事が求められています.ドラ単は直ぐ終わるのが魅力.英検 1 級の単語の問題は実は文脈で解く問題で頭の働かし方としては鉄壁の確認テストをやっている時に非常に近い.東大英単語は 25 ヵ年より更に古い年度の問題が載っているのが魅力でしょう.

・必携英語表現集 竹岡 広信 (著) 数研出版
800 文有ります.この本の最後の方も諺です.
昨今のセンター試験の文法・語法問題に出て来そうな口語表現が多目な印象です.よくばり英作文よりも短い英文が多いですね.
暗唱例文集としては最初の取っ掛かりに基本はここだ! の巻末,大矢ハイトレ和文英訳編,ドラゴンイングリッシュがお薦めだと思いますが,その後は大学受験生には 700 選が良いのでは無いかと言う考えです.大学入試英語では読みのウェイトが大きく,聞き取りだけの試験も独立して行われ無いので読みで如何に時間を余らせてリスニングの選択肢を余裕を持って読めるかどうかも重要に成って来ます.英作文も同様.なので網羅性が高い 700 選が良いと思います.文語的だと言われている用法も入試では普通に出ています.
この本も音声を DL 出来ますが,数研出版なのでダウンロード方法が先の LEAP と同様登録が必要です.音声も 英 -> 日,日 -> 英だけなので "英のみ" も欲しい所です.

この本の巻頭言から伺えますが彼は熱烈な 4 技能推進者です.ドラゴン桜の英語の先生にもモデルにも成った人物です.
どのみち英語が出来る人はどう言う入試形式に成ろうが困ら無いし英語なんてやるかやら無いかだけです.受験英語だろうが民間の英語の試験だろうが両方共学ぶべき部分は有る.私が学んだ受験英語は酷い物だったので文句の 1 つや 2 つはどうしても出てしまいますが.英語の前置詞は日本語の「てにをは」に対応すると言ったものでしたししゃべら無いのだから英語学習に置いて音読は 1 切不要だと言われました.英語を話す必要が無いので有れば音読を 1 切し無いと言うのは有る意味筋が通っている.今の受験英語の教授法は実用英語から取り入れられた部分もかなり有る.例えば音読のすゝめが代表的な物です.他には受験参考書でも前置詞や基本単語のイメージ図を採り入れた物が有りますがそれこそまさに大西泰斗先生のパクりです.
ichiokunin2.jpg
西きょうじ氏は伊藤和夫氏と大西泰斗氏を足して 2 で割った様な物だし鉄壁の単語のイメージ図等もあの本自体が発祥では無いと言う事は重ね重ね強調して置きたい.数学や物理等の科目の解法やテクニックは突き詰めればそこに至るからネタ被りは仕方無い.持ちつ持たれつの業界だとは思うのですが英語に関しては違うと思います.イメージ図はゼロから思い付く様な物では有りません.勿論それらの書物でも力が付く事は付くので 1 定の評価はされるのですが...

お互いヘイトスピーチは好い加減止めたらどうですかね.大学側が民間の英語の試験を不採用すると決定されてもそれが法律の範囲内成らば尊重し無ければ成りません.それ成らそれで終わった話で有って未だに文科省の利権ガー... は噴飯物です.そもそも文科省の役人自体東大卒が多く日本最高の頭脳集団が考えた制度です.色々な制度という物は実はベストでは無いがベターで有ると言う物が改めて考えて見ると多い.4 技能化に反対しているのが東大の教授だとしてもその人に教わった筈の人達が 4 技能化を進めようとしている.だから東大の教授とか言う偉い人が言っているから正しいのでは無くもっと深く考え無ければ成ら無いのです.東大の教授の中にはプルトニウムは飲んでも大丈夫と言った人もいますし.ALESS/ALESA で窓ガラスを割る様な教育をしているのは疑問に思う.東大の先生は何で窓ガラスが割れたのかを猛省すべきです.外に向けて情報発信する前にまずは足元を何とかすべきです.FLOW や英語 1 列もクソw 等とネガティヴな評価をしている東大生しか見た事が無いです.話す力は大学に入ってから付ければいいとは言う物の現実に御宅の学生は話す力を付けられているのか?

業者の金儲けか?
3 大予備校は 4 技能化に向けて動き出しているから民間の英会話学校や英語の資格試験の実施団体のみに限定するのは的外れだと言えるでしょう.
河合塾:
https://www.kawai-juku.ac.jp/admission/global-info/cgd/
駿台:
https://sundai-global.jp/course/aiot/feature.html
代ゼミ:
https://www.yozemi.ac.jp/english4/

機会均等かと言う観点から言えば国公立の 2 次試験は北は北海道から南は沖縄までその場所に行か無ければ成ら無いが民間の英語試験は大都市まで行か無ければ成ら無いにしても日本全国で試験してくれる.考え直したらその論点も的外れですね.

採点の公平さも大学入試自体点数は開示してくれる所も有りますが答案自体は 1 切返却されません.模範解答も発表してい無い所が多いですね.出題ミスも有る.

何で私が民間の英語試験の業者だと認定され無ければ成ら無かったのか? 英語学習者もきちんと両方の試験を受けてから語るべきです.本当は各大学が自前のスピーキングの試験を作るのが 1 番だと思います.英語が苦手成ら他の事に才能が秀でてい無いと行け無いと言う事なのでスピーキングのハンデを乗り越えられる位で無いと厳しいと言う事です.

英検 1 級の面接に関して言えばここ 2 回鬼採点に成りましたし形式も変わりました.スピーチ前の趣味の話で 1 大スピーチに成る程話さ無いと駄目でしたし,スピーチの後も質問は 1 つだけでそれに付いて延々と話さ無ければ成りませんでした.旺文社の 2 次試験対策本に付いている DVD 程度ではまず受から無いです (その位成ら流石に話せる).
特に発音が鬼採点です.私は中高の頃は NHK のラジオ講座を欠かさず聞いていたせいか発音だけは A.E.T. からも褒められていたのですがそれでもとんでも無く低い得点が付けられます.東大英語本試のリスニングで偶に訛りが強い人が出て来ますがあんな感じの発音だと間違い無く 0 点が付けられそうです.訛りの有る英語のリスニングの対策は特に不要だと思います.普通の発音の英語が聞き取りが理解出来れば訛りが有る英語も聞き取れる.聴解力以外に理解力の問題かどうかも考えて見た方が良いと思います.

・東大英語 総講義 (東進ブックス) 宮崎 尊 (著) ナガセ
これは素晴らしい.この本が出た頃は既に 25 ヵ年を持っていたし当時のアマゾンのレビューもネガティヴな物だったので避けてしまったがどう言う勉強の仕方と言うか英語その物に対してどう接すれば良いかの指針と成ります.
買うかどうか迷っている方は第 3 章末の速読についてと言う部分だけでも読んで見て下さい.
文章が書かれると言うのは筆者が伝えたい事が有ると言う事だから読み手は筆者が言わんとしている事を注意深く掴ま無ければ成ら無いですし,文章を読むと言うのは今まで文章を読んで得て来た蓄積が有って理解出来ると言う物も有るからそう言う気持ちで 1 つ 1 つの文章を大事にして読んで行か無ければ成ら無い.文章を読む前と後で何かを掴んで成長してい無ければ成ら無いと思えて来る筈です.
それと英語や国語等は論理 1 辺倒では無く忖度して解か無ければ成ら無い時も有る.この本には解説でこれは論理では無く忖度だとはっきり書かれています.忖度だからと言って嫌うのでは無くそれ成らそれで対策を立てる.私は気持ち的には仮定法が大嫌いです.起こり得無かった事を後悔している感じがするから.望ましく無い事が起こった時に愚者は嘆くが賢人はそれに対して今後の方策対策を立てる物です.
東大英語の勉強は全ての英語学習者に役立つとも良く言われています.東大志望者じゃ無くてもこの本を学習して見るのも悪く無いと思います.特に英会話学校兼大学受験の英語も指導している先生で指導に窮している方等は東大英語を攻略するにはどうすれば良いかがきっと掴めるでしょう.それ位凄い本で速読速聴等と言う本に手を出さずにこちらに取り組んでいればもしかしたら合格っていたかも知れ無い.後悔先に立たずですし,合格っていたらこんなに特に数学関係の weblog の更新は充実してい無かったと思いますが.だから今受験生の方は経歴問わず絶対合格って下さいよ.

・竹岡広信・安河内哲也の この英語本がすごい! 竹岡 広信 (著), 安河内 哲也 (著) 中経出版
竹岡先生と安河内先生の夢のコラボです.
特に安河内先生は誤解されている人が多い様に思います.安河内先生の直の師匠,つまり直接対面して教わった師匠が知る人ぞ知る同時通訳の神様で有る國弘 正雄先生です.だから安河内先生を貶していて國弘先生を崇拝している人は根本的におかしいと言わざるを得無い.
竹岡先生も英検をゴリ押している事が伺えます.今の英検は昔に比べて非常に良く成ったそうです.

・テーマ別英単語 ACADEMIC 中澤 幸夫 (著) Z会
[初級], [中級] 01人文・社会科学編, [中級] 02 自然科学編, [上級] 01 人文・社会科学編, [上級] 02 自然科学編 の 5 冊有ります.
この本は同じ Z会出版の速読速聴シリーズよりはマシだと思いますが,大学入試に対しては思った程役に立た無い様な気がします.何故かと言うと入試問題として出された文章では無く学習用に抜粋された文章が中心だからです.入試問題として出された文章には泥臭さが有り中には正解率が全受験生の 10 % に満た無い様な難問も有る.そう言う違いを感じます.
速読速聴シリーズはニュース英語が中心で出典がそう言う所を出す大学も中には有るのですが,ニュース英語は基本的に事実の読み取りだけで良いですし文章も最初の方が重要で後は重要度が薄れて行くと言う構造なので論点を積み上げる論文や微妙な心情を掴み取る小説とは全然違います.
アカデミックが糧に成るのは確かですがまずはリンガメタリカを完璧にしてからの方が望ましいと思います.
著者の中澤先生も幅広い教養を持ち英語力も確かだとは思うのですが,連鎖関係代名詞節 (wh節 I think V O と続くアレ) を何故か (I think) を挿入としてしまっています.そこが少し戴け無いかなあ.

再結晶の計算を解く時は行列式

saikessho1.jpg
特に,再結晶等での析出量を求める時は, a, c > 0 として,
saikessho2.jpg
無理して覚え無くても最初は文字でやって後で数値を代入した方が良いかも知れません.行列式だと共通因数を容易に括る事も出来ます.

加比の理も使えると良いです.加比の理が使える形に持ち込む為に,
saikessho3.jpg
にも着目出来ると良いですね.

円に外接する平行 4 辺形は菱形

1990 年度の東大理系数学の第 5 問の 1 部分で円に外接する平行 4 辺形はひし形と言うのが出て来るのですが,聖文新社の 50 ヵ年の別解の説明は私には良く分から無い.代わりに,
circleparallel1.jpg

circleparallel2.jpg
と辺長から示すべきでは無いかと思います.

0 < x < y < 1 の領域図示の仕方

0xy1_1.jpg
1 つずつ考えて行けば良いのですが,

i) 先に 0xy1_2.jpg を考える場合,
x 中心の左右に伸びた矢印を考えて,
0xy1_3.jpg
0xy1_4.jpg

ii) 先に 0xy1_5.jpg を考える場合,
y 中心の上下に伸びた矢印を考えて,
0xy1_6.jpg
0xy1_7.jpg

答えはいずれも,
0xy1_8.jpg

太字がポイントだと思います.気付く方はそれで良いですが気付か無い方もいると思われるのでまとめました.

min {√(ax²+bx+c)+√(ax²+βx+γ)} (a>0 は微分要らず)

ルートの中の 2 次の係数が共に a (>0) の時の √ + √ の最小値は微分不要です.
D = b2-4ac < 0, D' = β2-4aγ < 0 とします.
sqrtquadplus1_2.jpg
これは,
sqrtquadplus3.jpg
sqrtquadplus2_2.jpg
従って内分点公式より,
sqrtquadplus4.jpg
Min. は元の関数では無く AB の距離公式から計算します.
sqrtquadplus5.jpg

15°,75°,22.5°,67.5°,18°,36°,54°,72°の割3角関数含む3角比の表

日本人が 3 角比の表と言うと,有名角の確認ばかりしているイメージが有りますが海外だと,
Class XI/XII Mathematics Trigo Table (by AVTE)
https://mevipinsetia.blogspot.com/2018/10/class-xixii-mathematics-trigo-table.html
と有る様にこうした角度の 3 角比の表を海外勢を覚えているのかどうか知りませんが睨めっこしている様です.唯この表も分母が有理化されてい無いし, kπ/12, kπ/8, kπ/10 で分類すべきだと思っているので表を書き直して見ます.

最初に言って置きますが,合っている保証は有りません.確認しようにも分母が有理化されてい無い物が出て来たり,ましてや割 3 角関数のこうした角度の 3 角比等殆ど有りませんでしたので.

まず,π/12 = 15° , 5π/12 = 75° の表
alltritable1.jpg
それと,π/8 = 22.5° , 3π/8 = 67.5° の表
alltritable2.jpg
ここまでは標準的な計算で求めて書けるでしょう.sec, csc の分母が残ら無いと言う発見が有りました.

さて問題は, π/10 = 18° , π/5 = 36° , 3π/10 = 54° , 2π/5 = 72° の表.
まず,正 5 角形の作図方法を思い出して戴き,
alltri1.jpg
(複素数平面上で) (-1/4) 中心, (i/2) を通る円と実軸との交点の実部が cos(2π/5) の値でした (図は 2次元の実数座標を書いてしまったが同じ物だと考えて下さい).そこでまず cos(2π/5) が埋まります.
alltritable3.jpg
次に直角 3 角形を描く事で他の 3 角比も求まる事でしょう.
alltri2.jpg
必要な計算は以下です (他の角度の 3 角比を求める時にも使えるので複合同順).
√5±1 = √(6±2√5) と態々 2 重根号に戻して計算する所がテクニカルですがポイントでしょうか.
alltri3.jpg
,
alltri4.jpg
,
alltri5.jpg
これで 2π/5 = 72° のカラムが埋まります.
alltritable4.jpg
π/10 = 18° は余角 (π/2 - θ) の公式で埋まります.
π/5 = 36° , 3π/10 = 54° は特に前者には受験数学では有名な方法が幾つか有るのでそれで cos(π/5) の値を求めて同様に埋めれば良いでしょう.
どうやら昔こんな記事を書いていたらしい.
-> cos36°(=cosπ/5)の3通りの求め方
http://denofhardworking.blog.fc2.com/blog-entry-123.html
(自分が書いた記事は恥ずかしくてあんまり見返さ無い)
alltritable5.jpg
私自身も覚えてい無いので覚えろとは言いません.ですが表を眺めていたら色々と発見が有るかも知れません.
例えば
・sin, cos で 2 重根号の無い物はジグザグに有る,
・sin で 2 重根号が無いと csc, cot で分母が残ら無い, cos で 2 重根号が無いと sec, tan で分母が残ら無い.
・5, 10, 25, 50 と 5 の倍数が多く出て来る.他の倍数が出て来たらどこかで計算を間違えていると判断出来る.

符号に着目しても良いかも知れません.
alltritable6.jpg

重要公式: sin²α - sin²β = sin(α+β)sin(α-β)

Class 11 , Class 12 , NDA , JEE : THREE IMPORTANT TRIGNOMETRY FORMULAE, very Important (by AVTE)
https://www.youtube.com/watch?v=S7_WreD1jeo
impformulae1.jpg
題名に FORMULAE と有る様にこれらは公式として覚えて置くべき物です.しかも IMPORTANT, very important と有ります.3 角法の精選等の海外の文献ではいきなりこれを使って式変形したりしているので使いこなせ無いとお話に成ら無い.
唯覚えるのは 1 番上のオールサインの物だけで充分です.

ビデオでやっている方法とは違う方法で示して見ます.左辺からの変形と右辺からの変形と両方からです.
左辺からの変形:
impformulae2.jpg
右辺からの変形:
impformulae3.jpg

他の 2 つは角度を余角 (π/2-θ) で置き換えれば良い.
impformulae4.jpg

impformulae5.jpg


impformulae4.jpg

impformulae6.jpg

覚えるのは 1 番上のオールサインの物だけで良いと言う他の理由としては他の物はサインとコサインが混ざっていて混乱するからです.(記憶力に自信が有る方は覚えても良いですよ)

海外勢は覚えているのに暗記を軽視する日本の数学教育では世界相手に戦え無いし凋落して行く 1 方です.

入試範囲での行列・1次変換の発展事項

大学入試範囲だった頃の行列・1次変換分野の発展事項を挙げて行きます.とは言っても n 乗の求め方や固有値・固有ベクトルの求め方等と言った割と有名な事項は解説しません.
以下行列は 2 次の正方行列を指すとします.

まずは復習として,
appmatrix1.jpg

Z = xI + yA, |Z| ≠ 0 の時,
appmatrix2_2.jpg
割と綺麗な形で覚えようとすれば覚えられるかも知れませんが,この位の計算が要求されても出来る様にして置きましょう.

f は A の回りに α だけ回転する写像, g は B の回りに β だけ回転する写像とすると,
α + β ≠ 2mπ (m ∊ ℤ) の時,g◦f の不動点は図の P で有り,g◦f は P の回りに α+β の回転移動を表す.
appmatrix3.jpg
これは過去の東大で 2 回出題された事が有ります.
S61 (1986 年度) 文系第4問
S38 (1963 年度) 1次理科・衛生看護学科第2問

千葉大でも過去に同じテーマが出題された事が有るのですが,(α+β = π)
appmatrix4.jpg
こちらは P, R の対称中心を求めろと言う問題で上の知識がむしろ邪魔に成ります.

1次変換では基底の選び方が重要です.例を幾つか...
appmatrix8.jpg
,
appmatrix9.jpg
,
appmatrix10.jpg
,
appmatrix11.jpg

有名問題
appmatrix5.jpg
1次変換に依りサイクリックに点が移動する場合,
appmatrix6.jpg
です.これは芝浦工大,1987年度の奈良女子大の他,京大でも過去に出題されました.
appmatrix7.jpg

1次変換に依り直線 (半直線・線分) が直線 (半直線・線分) に移る事はきちんと証明出来る事が望ましいです.簡単に話すと,
appmatrix12.jpg
a↑, d↑ は定ベクトルです.A は定数成分の行列とすると,
appmatrix14.jpg
a↑, d↑ は定ベクトルで A は定数成分の行列なので各成分は t の 1 次式ですよ.良いですか.

線分が線分に移ると言うのは不等式の範囲から考えて,
appmatrix15.jpg
変換後の等号が成り立つのは変換前の等号が成り立つ時なので線分は線分に,端点は端点に移り,内分点も比が保存された内分点へと移ります.

特に,単位円に内接する正 n 角形が自身に移る時, P0 (= Pn) が Pk に移るとすると, P1 が移る点は Pk+1 か Pk-1 しか有り得ないです.何故なら線分が線分に移るので,線分 P0P1 は線分 PkPk+1 か PkPk-1 に移るしか無いからです.端点は端点に移される事から P1 が移る点は Pk+1 か Pk-1 のどちらかです.

行列の積の 3 つの意味
[1] 基底を変えた物
appmatrix16.jpg
より,
appmatrix17.jpg
[2] 回転移動や対称移動を表す.
有名な物としては,
appmatrix18.jpg
(r は回転移動後や対称移動後に 相似拡大縮小する事を表します)

appmatrix19.jpg
[3] 固有ベクトルに正射影し固有値倍した点を表す.
appmatrix20.jpg
より,
appmatrix21.jpg
行列の積の 3 つの意味は問題に依ってどの意味を重視しているかが大事で決して発展的な参考知識では無いです.いつでも使える様にして置くべき事項です.

対角化で重要なのは対角化自体では無く計算のやり方や過程です.
appmatrix22.jpg
appmatrix23.jpg
後は,
appmatrix24.jpg
P を縦ベクトルで置いて,
appmatrix25.jpg
とするのが重要です.

他にも,
appmatrix26.jpg
trace と determinant の形にするのが重要な物も有ります.

最後にハイレベルですが,条件を満たす任意の行列を作れと言う問題が過去に京大で出題されてその中から幾つか,
appmatrix27.jpg
回転行列か対称行列で内積・外積の条件はクリア出来ているが, u = -1 の時を考えれば対称行列は R(θ) に含まれる.後は全体を v 倍したり 第 1 列と 第 2 列の長さが違っていても内積・外積の条件を乱さ無いので 第 2 列を u 倍してやれば良い.

|X| ≠ 0 成る任意の行列 X は,
appmatrix28.jpg
と書ける.
appmatrix29.jpg
(1, 0), (0, 1) の移る点を考えてやる訳です.
appmatrix30.jpg

[追記] もう 1つ入試には余り関係無いかも知れませんが,
SYMMETRIC & SKEW SYMMETRIC MATRICES/MATRICES AND DETERMINANTS (PART 5(ii)/6) CLASS XII 12th CBSE (by Neha Agrawal Mathematically Inclined)
https://www.youtube.com/watch?v=KdGT08XnxUE
に依れば,
appmatrix31.jpg
ex. )
appmatrix32.jpg

指数・対数関数のマイナーな公式

まず,
expolog1.jpg
これを Spencer's favorite logarithm property と言います.
式の形から a, b, c > 0, b≠ 1 とします.
Spencer's favorite logarithm property! (by blackpenredpen)
https://www.youtube.com/watch?v=HcTzyzTO6Wk
動画での証明は遠回りです.両辺を logb で被せれば証明完了です.
 expolog1.jpg
expolog2.jpg

次に,
LOGARITHMS FOR NDA/CETs/JEE/CEE/BITSAT/COMEDK/COMPETITIVE EXAMS (by Neha Agrawal Mathematically Inclined)
https://www.youtube.com/watch?v=GmGX8AnSudY
こちらのビデオの property 5) として紹介されている公式として,
expolog3.jpg

平行移動
expolog4.jpg
に付いて,

x 軸方向に平行移動した物は,
expolog5.jpg
y = loga(x±h) が選択肢に無い場合に臨機応変に式変形出来るかと言う問題.

y 軸方向に平行移動した物は,
expolog6.jpg
x 軸方向に拡大縮小した物とも言える.

片対数グラフか両対数グラフか?
expolog7.jpg
ときちんと順を追って考え,Y = log y, X = log x, Y' = log(log Y) 等と置く事で目盛りが片対数,両対数,はたまたログログのどれが良いか判定可能.

積分
expolog8.jpg
この 2 つは計算するか記憶するかどちらでも良いからささっと出来る様にして置きたい.
∫ f(x) lnnx dx は部分積分だが,思い切って ln x = t と置いた方が簡単な場合が有る.但し,積分漸化式は置換し無いで部分積分する.
又部分積分する時も,
expolog9_2.jpg
と工夫すべき物が有る.

東大の昔の問題で,
expolog10.jpg
の x に幾つかの値を代入して大小を判定させる物が有った.これは聖文新社の 50 ヵ年では,
 y = -(ln2)/ln(1/x)
としていたが (良く分から無い),グラフを描いて判断した方が良いと思う.
expolog11.jpg
この時点でも x に多数の値を代入して行けば判断出来るかも知れないが,凹凸まで考慮したグラフを描く為に微分する.
expolog12.jpg
expolog13.jpg
expolog14.jpg
expolog15.jpg

以下 log は常用対数を表す物とする.
expolog16.jpg
整数部分を指標,小数部分を仮数と言う.京大のと有る過去問の問題文でこの言葉が用いられていたが補足説明が無かったので定義を知ら無いと解け無い.

真数を 10 倍した場合,
expolog17.jpg
真数を 1/10 倍した場合,
expolog18.jpg
∴ 真数を 10m 倍 (m ∊ ℤ, m ≠ 0) した物は指標のみ変化し,仮数は変化し無い.
(注) 真数が 2n だと n が動くと仮数も変化する.

全体を 10倍, 1/10倍した場合,
expolog19.jpg
10α で繰り上がったり,n/10 で小数部分が表れ得るので指標も仮数も直ぐには分から無い.
真数のべきが変わる.(真数を 10倍, 1/10倍 にしたりし無い事)

[追記] 整数部分小数部分が良く問題に成るのですが,
整数部分が n は,
expolog20.jpg
4 斜 5 入して n は,
expolog21.jpg
小数部分を切り上げて n は,
expolog22.jpg
床関数 [ガウス記号] や天井関数から立式した方が良い様に思います.より根本的な部分から立式した方が忘れ難いし間違え難いです.

座標分野の雑知識・雑公式

今回は座標分野で覚えてい無くても特に問題無さそうな雑知識や雑公式を集めて見ました.

平行 4 辺形の扱い:
2dmiscellaneous1.jpg
図で l1, l2, C(xc, yc) が既知の時は,
2dmiscellaneous2.jpg
と立式します.

図で,
2dmiscellaneous3.jpg
4 角形 2dmiscellaneous4.jpg
L, M, N が既知の時に A, B, C を求める公式:
2dmiscellaneous5.jpg
導出すれば O. K. だとは思いますが海外勢は公式扱いでいきなり立式していました.

角の 2 等分線の方程式:
2dmiscellaneous23.jpg
2dmiscellaneous7.jpg
l1, l2 からの距離が等しい点の集合は,
2dmiscellaneous24.jpg
ヘッセ標準形 (ヘッセの公式) に± を付けた物で角の 2 等分線は 2 本とも求められます.しかし角の 2 等分線を求めるのでは無く大抵は内心を求める為のつなぎで用いる為ヘッセ標準形でも正・負領域や直線の方程式の法線ベクトルの突き出す向きから考えて絶対値が外れる事が多いので使う機会は殆ど無いでしょう.
内心をいきなり求める公式も有ります.
2dmiscellaneous9.jpg
3 角形の辺長が汚く成る問題も多いのでこちらも使わずにヘッセ標準形 2 本を連立させた方が良い様な気がします.

接線の長さ
2dmiscellaneous10.jpg

2dmiscellaneous11.jpg

次の図の構図では,
2dmiscellaneous12.jpg
2dmiscellaneous13.jpg
が成立します.移項等してやれば更に多くの方程式が成立します.

LP (線形計画法) での 2 つの解法:
2dmiscellaneous16.jpg
[方法 1]
2dmiscellaneous17.jpg
2dmiscellaneous15.jpg
最大値の候補は図の 2 点.場合分けする.
[方法 2]
2dmiscellaneous18_2.jpg
とする事で x の関数として扱う事も出来る.

OP・OQ = 1 (反転)
2dmiscellaneous14.jpg
より,実は答えだけ成ら直ぐ求める事が出来る.

せっかくなので複素数平面での反転 (1/z~) 等の点の位置と直交座標表示を挙げて見ます.
2dmiscellaneous19.jpg
2dmiscellaneous20.jpg
簡単な分母の実数化計算で出せますがこんな計算でも本番で間違えてしまう事が有るのでしっかり確認して置いて下さい.
大昔の東大数学の過去問では何故か, -1/z~ と言う反転が多いです.
S33 (1958年度) 2次解析 I 第3問
S42 (1967年度) 1次理系第5問
S55 (1980年度) 文系第4問

最後に参考程度に海外で教えられている 2 点を通る円の方程式:
2dmiscellaneous21_2.jpg
2dmiscellaneous22.jpg
CIRCLES FOR JEE MAINS 2019 in HINDI & ENGLISH/2013-18 QUESTIONS SOLVED WITH TRICKS & STRATEGIES (by Neha Agrawal Mathematically Inclined)
https://youtu.be/lrj2CEfJAIs?t=864
束の考え方を使っているのだと言う事は分かるのですが,証明方法は知りません (動画内でもされていません) .
何となく 1998年度の京大理系数学後期第3問に似ているかなと言う感じです.

弾性散乱で半円 2 つを描く方法

弾性散乱で半円 2 つを描く方法は大分前から知っていたのですが結果だけ覚えている感じだったので記事化する事を避けていたのですが今回きちんと説明して見ようと思います.

i = A, B として衝突前の速度の大きさを静止系では vi, 重心系では ui, 衝突後には (') (プライム) を付けます.
まず現象を掴んで貰う為に図を描きます.弾性散乱の弾性から分かる様に弾性衝突なので反発係数 (はね返り係数) e = 1 で有り,エネルギーは保存されます.

静止系
danseSanran1.jpg
重心系
danseSanran2.jpg

運動量保存則:
danseSanran3.jpg
これより,
danseSanran4.jpg
danseSanran6.jpg
danseSanran7.jpg
danseSanran5.jpg
何とこれら 4 本の運動量ベクトルの大きさは全て等しいのです.

少し蛇足ですが,運動量保存則を直交座標軸 (x 方向, y 方向) で立てて見ます.(飛ばしても差支え無い)
danseSanran8.jpg
danseSanran9.jpg
1 次元の衝突で良く出て来る式ですね.
danseSanran10.jpg
danseSanran11.jpg
静止物体の分裂で出て来る式です.

それでは,半円 2 つを描く方法に移ります.
uA = uA', uB = uB' = vG,
mA : mB = uB : uA = uB' : uA'
から重心 G を中心とし,半径比が mB : mA で有る半円 2 つを描きます.
注意すべき点が 2 つ有り,
・速度ベクトルと運動量ベクトルをしっかり区別する事 (これから描く円は速度ベクトルの方です)
・mA ⋛ mB の場合分けが生じる事
です.

i) mA < mB の時,
danseSanran17.jpg
vA は与えられた量, vB = 0, uA, uB, uA', uB', vG は比例配分されていて既に求めました..
直ぐに求まら無い量は vA', vB' のみですが,ベクトルの継ぎ足しや円の弦の長さ等から求められます.問題文に依って角度はどれを使って良いかが変わってくるので臨機応変に対処します.
二重線矢印 (⇒) は速度ベクトルの変化を表すのですが,これは受けた力積の向きも表します (大きさは正確では無いので計算で求める事).これに依れば A, B の受けた力積の向きは平行で成す角は π です.

ii) mA > mB の時も同様で,
danseSanran18.jpg
この場合は α が最大と成る時が存在し,
danseSanran19.jpg
BA' が丁度半円と接する時がその時だと分かります.

iii) mA = mB の時,
danseSanran20.jpg
danseSanran16.jpg

パラメーターを消去し無いで円・楕円

パラメータ (媒介変数) を消去し無いで円や楕円だと判定出来る物が幾つか有ります.
今回は東大数学の過去問から 3 題取り上げて見ます.今回のテーマに関係する部分だけを取り上げるので問題の極 1 部分だけです.

[1]
S77 (1952年度) 東大理系数学2次新課程第5問
circleEllipse1.jpg
これは,
circleEllipse2.jpg
より,
circleEllipse3.jpg

circleEllipse4.jpg

[2]
S37 (1962年度) 東大文系数学2次第4問
circleEllipse5.jpg
これは,
circleEllipse6.jpg

circleEllipse7.jpg

circleEllipse8.jpg
実は楕円 (の 1 部) です.

[3]
1998年度東大理系数学後期第1問
以下複合同順で,
circleEllipse9_2.jpg
α, β の取り扱いが難しい (?)
α も β も特に範囲に制限が無いので,
circleEllipse10.jpg
circleEllipse11.jpg

下 1 桁ずつ取り出す 7 以上の奇素数の倍数判定法

倍数判定法には下 1 桁ずつ何倍かして残りの数に足したり引いたりする方法が有ります.
取り敢えず証明は後にしてまずは具体例を挙げて行きますので実感して下さい.

7 の倍数判定法は,
7x2 = 14, 7x3 = 21 より,
21 = 20 + 1 で有るから,
2 + (-2)x1 = 0.
下 1 桁を (-2) 倍して残りの数に足す事を繰り返せば良い.
14 は, 1 + (-2)x4 = -7 ≡ 0 (mod 7)
28 は, 2 + (-2)x8 = -14 ≡ 0 (mod 7)
105 は, 10 + (-2)x5 = 0 (実際, 105 = 7・5・3)
343 は, 34 + (-2)x3 = 28 ≡ 0 (mod 7) (実際, 343 = 73)
1001 は, 100 + (-2)x1 = 98, 9 + (-2)x8 = -7 ≡ 0 (mod 7)
(実際, 1001 = 7・11・13)
2744 は, 274 + (-2)x4 = 266, 26 + (-2)x6 = 14 ≡ 0 (mod 7)
(実際, 2744 = 143)

13 の倍数判定法は,
13x2 = 26, 13x3 = 39 より,
39 = 40 - 1 で有るから,
下 1 桁を 4 倍して残りの数を足して行く事を繰り返せば良い.
2197 は, 219 + 4x7 = 247, 24 + 4x7 = 52, 52 = 5 + 4x2 = 13
(実際, 2197 = 133)

5 より大きい奇素数の倍数判定法は自力で作れます.下 1 桁が 1 or 9 に成るまで順に x1, x2, x3, ... と掛けて行って (実は x1 or x3 のみで O. K.) 後は下 1 桁とそれ以外の数とが相殺される様に下 1 桁に有る数を掛けて足したり引いたりすれば良いのです.

以下 10 の位以上の数をまとめて a, 1 の位の数を b とします.
7 の倍数判定法のきちんとした証明:
以下合同式の方を 7 とする.
10a + b ≡ r と置くと,
⇔ 20a + 2b ≡ 2r
⇔ (21-1)a + 2b ≡ 2r
⇔ -a + 2b ≡ 2r
⇔ a - 2b ≡ -2r
gcd (7, -2) = 1 なので,
「r が 7 で割り切れる ⇔ 10a + b が 7 で割り切れる ⇔ a -2b が 7 で割り切れる」,
「r が 7 で割り切れ無い ⇔ 10a + b が 7 で割り切れ無い ⇔ a -2b が 7 で割り切れ無い」.
∴ 下 1 桁ずつ取り出して (-2) 倍してそれ以外の数に足して行く事を繰り返す上の倍数判定法は有効.
※ 10a + b ≡ r, a - 2b ≡ -2r なので 7 で割り切れない時の余りが 1 致し無いので 7 で割り切れ無い時の余りを求めたい時には用いては成ら無い.

7 以上 50 以下の奇素数の倍数判定法を簡単にまとめて見ますか.
7 は,21 = 20 + 1 から, a - 2b
11 は,11 = 10 + 1 から, a - b
13 は,39 = 40 - 1 から, a + 4b
17 は, 17 x 3 = 51 = 50 + 1 から, a - 5b
19 は, 19 = 20 -1 から, a + 2b
23 は, 23 x 3 = 69 = 70 - 1 から, a + 7b
29 は, 29 = 30 - 1 から, a + 3b
31 は, 31 = 30 + 1 から, a - 3b
37 は, 37 x 3 = 111 = 110 + 1 から, a - 11b
41 は, 41 = 40 + 1 から, a - 4b
43 は, 43 x 3 = 129 = 130 - 1 から, a + 13b
47 は, 47 x 3 = 141 = 14 + 1 から, a - 14b

実は, 5 より大きい奇素数は下 1 桁が 1, 3, 7, 9 にしか成り得ないので下 1 桁が 1, 9 の場合は微調整で済むし, 3, 7 の場合は x3 して 9, 1 にすれば O. K. です.

43 の時は,
43 x 3 = 129 = 130 - 1 より, a + 13b ≡ a - 30b (mod 43)
と出来ます.こちらの方が楽でしょう.

参考:
Tests for Divisibility by 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43 and 47.
http://www.savory.de/maths1.htm
Divisibility rule - Wikipedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Divisibility_rule

YouTube にも幾つかビデオが有るのですが証明をきちんとしている物が見当たらず,中には x3 して下 1 桁を 1 or 9 にする原理すら説明し無いで丸暗記を強要している動画も有り酷い有様です.

単糖類の鎖状構造の破線-楔形表記への直し方 2 通り

単糖類の鎖状構造を破線-楔形表記で書き直させる問題は過去に名古屋大学で出題された事が有ります.
グルコースでは無くガラクトースを例にその方法を説明して見ようと思います.

まず草 (W) を描き右端に -CHO をつなぎます.
hasenkusabi1.jpg
hasenkusabi2.jpg

ここから先は 2 通り有るのですが,方法1:
Fischer (フィッシャー) 投影式を描きます.
hasenkusabi3.jpg
ジグザグに赤線で示した部分を手前にして描けば完成です.
hasenkusabi4_2.jpg

方法2:
より本質に根差した方法です.イス形配座を描きます.
hasenkusabi5_2.jpg
equatrial 位 (エクアトリアル位,エカトリアル位) に出た基を手前にして描けば完成です.

※ 1 つ注意点が有ってイス形でも flip-flop を起こした物は違ってしまいます.
hasenkusabi6.jpg

草 (W) 形では無く M 字形の場合は始めから考え直しても良いですし,
hasenkusabi7_2.jpg
回転させてやる事を考えて Newman (ニューマン) 投影式等も利用して考えると,
hasenkusabi8.jpg

  hasenkusabi9_2.jpg
楔-破線の手前-奥が逆転した構造と成る事が分かると思います.

丸善の HGS 分子模型等で組み立てると良く分かるかと思います.棒を抜く時は引っ張るのでは無く回しながら抜く事に注意して下さい.そうし無いと棒がポキリと折れて棒も分子も 1 つずつ使い物に成ら無く成ってしまいます.

ラッキー分数 (Lucky Fraction)

残念ながら削除されてしまったのですがこちらの pdf ファイルにラッキー分数に付いて詳述したドキュメントが有りました.
https://csm.rowan.edu/departments/math/facultystaff/faculty/osler/87%20Lucky%20Fractions.pdf

ラッキー分数とは,
luckyfraction1.jpg
の様にエキセントリックな方法で約分しても元の分数と等しい分数の事を言います.
大学入試での出題も有りました.Tw で FF 外からなのに教えて下さった方,本当にありがとうございました.

2003年度滋賀大学 - 教育 (学校教育 (理,技術,家政), 情報教育 (システム情報), 環境教育課程) 入試問題数学V

luckyfraction2.jpg
とし,16/64 以外の物を全て求めよ.


luckyfraction3.jpg
(整数) = (整数) の方程式が成り立つので有ればそれよりも緩い条件の合同式は当然成り立つます.整数問題では常套手段ですので使える様にして置きましょう.
luckyfraction4.jpg
luckyfraction5.jpg
luckyfraction6.jpg
luckyfraction7_2.jpg
luckyfraction8.jpg
luckyfraction9.jpg
luckyfraction10.jpg
luckyfraction11.jpg


luckyfraction12_2.jpg
と分子x桁,分母y桁,約分される桁数をzとして, Type {x/y ; z} と表記します.
例を挙げると,
luckyfraction21_2.jpg

ラッキー分数には幾つか成り立つ性質が有ります.

Subtraction property:
luckyfraction13.jpg
ex. )
luckyfraction22_2.jpg

First repetition property:
luckyfraction14.jpg
ex. )
luckyfraction23_2.jpg

Second repetition property:
luckyfraction15.jpg
ex. )
luckyfraction24_2.jpg
この性質に基づいた約分方法は,
luckyfraction27.jpg
ですが,
luckyfraction28.jpg
と約分しても成立します.これは又別の性質ですし,全てのラッキー分数で成立する訳では無い様です.

ラッキー分数を特集しているビデオは 2019 年 3 月現在 blackpenredpen 氏の 2 つのビデオだけです.
LUCKY FRACTIONS! (by blackpenredpen)
https://www.youtube.com/watch?v=oOyOTy36ZXw
Math for Fun, got lucky with fractions (my vintage video!!!) (by blackpenredpen)
https://www.youtube.com/watch?v=_Pon81fxK-E
これに依れば,
luckyfraction16.jpg
約分方法が異成りますがこれもラッキー分数だそうです.

luckyfraction17.jpg
luckyfraction18.jpg
luckyfraction19.jpg
luckyfraction20.jpg
これらも有る種のラッキー分数と呼べるでしょう.

有る適当な分数が与えられた時それがラッキー分数で有るかどうかを判別する方法は今の所存在してい無い見たいです.

もっと研究が進んで色々な性質が分かると良いですね.

今の所ラッキー分数を見付けようとしたら適当なプログラミングコードを書いて総当たりで調べるしか無さそうです.誰か適当な桁までラッキー分数を列挙してくれ無いかなあと思っています.


序でにラッキー分数とは全然関係無いですが,
luckyfraction26.jpg
です.
Some Calculus Behind 1/81 (by blackpen)
https://www.youtube.com/watch?v=xw4RBLjNUC8
(動画では無限等比級数を微分して色々とやっています.)
プロフィール

A6033x

Author:A6033x
数検1級取得しました.
個人的な連絡は,hermitvseinsiedler@_@gmail.com
まで(@_@は@に置換すること).
あまり見ないかも知れないのでその場合は twitter の方へ.
twitter:https://twitter.com/A603zw
そもそもネット接続自体減らして行く事になりますが...

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