1986年度京大数学文理共通求積問題の 1般化

 座標空間に置いて,平面 z = 1 上に 1辺の長さが 1 の正n角形 A0A1・・・An-1 がある.点 A0, A1, ・・・, An-1 から平面 z = 0 におろした垂線の足をそれぞれ B0, B1, ・・・, Bn-1 とする.動点 P は A0 から A1 の方向へ出発し,一定の速さで 正n角形 A0A1・・・An-1 の周を 1周する.動点 Q は同時に B1 から B2 の方向へ出発し,P と同じ一定の速さで 正n角形 B0B1・・・Bn-1 の周を 1周する.線分 PQ が通過してできる曲面と 正n角形 A0A1・・・An-1, 正n角形 B0B1・・・Bn-1 によって囲まれる立体を V とする.
 平面 z = u (0 ≤ u ≤ 1) による V の切り口の面積 Sn(u), V の体積 Vn を求めよ.


図の様に点を置き,各点の位置ベクトルを矢印付きの小文字で表す.
uks86_2_1.jpg
uks86_2_2.jpg
n = 3 (京大のは u = a とした物):
SV3.jpg
n = 4 (奈良教育大で出題歴有り(年度不明)):
SV4.jpg
n = 6:
SV6.jpg
n = 8:
SV8.jpg
n = 12:
SV12.jpg

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