フィボナッチ数列の和公式 3つと +α

[1] 奇数項列の和: F1+F3+ ・・・ +F2n-1 = F2n
[2] 偶数項列の和: F2+F4+ ・・・ +F2n = F2n+1-1
[3] 普通の和: F1+F2+ ・・・ +Fn = Fn+2-1


全て数学的帰納法に依り示す事が出来ますが,[3] は [1], [2] から示す事も出来ます.[3] の右辺の添え字を間違えそうな方は [1], [2] だけ押さえてそこから導出すれば良いでしょう.

[1] 奇数項列の和: F1+F3+ ・・・ +F2n-1 = F2n
i) n = 1 で,(1 =) F1 = F2 (= 1). これは成立.
ii) 有る n で,F1+F3+ ・・・ +F2n-1 = F2n が成立すると仮定.
両辺に F2n+1 を足し,右辺に漸化式 F2n+F2n+1 = F2n+2 を適用する事に依り成立.

[2] 偶数項列の和: F2+F4+ ・・・ +F2n = F2n+1-1
i) n = 1 で,(1 =) F2 = F3-1 (= 2-1 = 1). これは成立.
ii) 有る n で,F2+F4+ ・・・ +F2n = F2n+1-1 が成立すると仮定.
両辺に F2n+2 を足し,右辺に漸化式 F2n+1+F2n+2 = F2n+3 を適用する事に依り成立.

[3] 普通の和: F1+F2+ ・・・ +Fn = Fn+2-1
[1], [2] を辺々足すと,F1+F2+ ・・・ +F2n = F2n+F2n+1-1. ・・・ (*)
i) (*) に対し,両辺から F2n を引けば,F1+F2+ ・・・ +F2n-1 = F2n+1-1. 奇数の時は O.K.
ii) (*) に対し,右辺に漸化式 F2n+F2n+1 = F2n+2 を適用する事に依り,
F1+F2+ ・・・ +F2n = F2n+2-1. 偶数の時は O.K.
(※ 普通に数学的帰納法でも出来ます.)


所で,フィボナッチ数列の 1般項は,Fn = (1/√5)(τ+n-n). τ± = (1±√5)/2 (複合同順) ですので等比数列の和公式を利用して導出する事も出来ます.ですが,普通に代入すると間違えたり非常に時間が掛かります.
特性方程式 x2 = x+1 の 2解を τ+, τ- とすると,
 τ±2 = τ±+1
∴ 1-τ±2 = -τ±, 1/(1-τ±) = -τ±
を利用します.これで,τ± はそのままで値を代入し無いで片が付きます.
数学的帰納法の方が楽ですが,非常に良い計算練習に成るので 1度自分でやって見ると良いでしょう.

受験数学の計算は何もゴリゴリ計算するだけでは有りません.いかに工夫すべきかが勝負所です.

[オマケ] Fn | Fmn. これは m に依る数学的帰納法に依り示せる.
i) m = 1 の時,F1・n = Fn. ∴ Fn | Fn.
ii) 有る m で Fn | Fmn を仮定.
 F(m+1)n
= Fmn+n
= Fmn+1Fn+FmnFn-1. (∵フィボナッチ数列の加法定理)
ここで,Fn | Fn, Fn | Fmn より,Fn | Fmn+1Fn+FmnFn-1. ∴ Fn | F(m+1)n.

a | b は a は b を割り切ると言う記号で表記が楽に成りますし難しい問題が解ける事以上に基本的な記号が使いこなせる事の方が大事だと個人的には思うのですがねえ・・・.

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そもそもネット接続自体減らして行く事になりますが...

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