正n角形から 3頂点を選んで出来る 3角形の個数 [鋭角まで]

ハイ理等の多くの問題集にも掲載されている問題で態々私が説明するまでも無いとは思いますが,ハイ理の解答だと直角と鈍角を分けて求めてい無いのが問題だと思います.試験で直角・鈍角と指定される事も有るので.

※ 直角鈍角個別の求め方を知っており鋭角3角形の個数まで求め方が分かっている人は読ま無くても良いです.もっと複雑な設定の問題も有るのですが鋭角までしか立ち入りません.
又3角形数とするので単位は省略させて頂きます.

[1] 頂点番号の付け方
n が小さい場合で確認するのが良いと思います.
奇数の場合:
noO.jpg

偶数の場合:
noE.jpg

0 から番号を付けると n の偶奇に関わらず床関数 or ガウス記号で [n/2] と表せて美しいですが,直角・鈍角・鋭角3角形の個数を求めるのに必ずしも頂点番号を付ける必要は無いです.

[2] 全3角形数,元の正n角形と2辺・1辺を共有する3角形数
基本的なので答えのみ.
全3角形数: nC3
2辺共有: n
1辺だけ共有: n(n-4)

[3] 直角3角形の個数
奇数の場合: 0. (∵ 正n角形を真っ2つにする対角線が引けません.)
偶数の場合:
rightE.jpg

対角線 A0An/2 と対角線 An/2A0 が同じですが 1方の領域のみを考える事でダブりを防ぎます.直角にする頂点を選ぶ時,両方の領域から選んで 2で割っても構わ無いのですが鈍角3角形の場合の考え方との相同性を考慮して 1方の領域のみを考える方式の方が後で 2で割る手間も省けて良い気がします.

[4] 鈍角3角形の個数
反時計回りに 3角形の頂点を AiAjAk とし,Ai をまず選び,次いで,Aj と Ak を選びます.
奇数の場合:
obtuseO.jpg
偶数の場合:
obtuseE.jpg

[5] 鋭角3角形の個数
全3角形数 nC3 から直角・鈍角3角形の個数を引いて答えです(計算省略).
acuteOE.jpg

答えを覚える必要は無いと思いますが,分母が 24 等大体こんな感じだったなと感じて置けば自信を持って他の問題に移れるかも知れません.
奇数の場合を combination で表しましたがその意味はまだ見い出していません.


n が具体的な数での出題は新数演に,もっと複雑な設定の問題は伝説の良問100 やもっと考え抜く数学に有ります.

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