特殊な合成関数: f(f(x))=f(x), f(f(x))=x の解の個数

合成関数の中でも,f(f(x))=f(x), f(f(x))=x の解の個数は出題頻度が高いで有ろうと思ったので今回はそれらについて話します.定型処理としてスパスパ出来る様にして置くべきだと思います.


[1] f(f(x))=f(x) の解の個数
f(x)=t と置く事で,f(t)=t ⋀ t=f(x).
例えば,f(x)=x3-3x の場合,例によって横軸を t とした横倒しのグラフを描く事で,
x3-3x_x_comp.png
交点は 7個と分かるのですが,下の横倒しのグラフを反時計回りに 90° だけ回転して座標軸を重ねると,
x3-3x_plusminus2_0_x.png
これからも交点が 7個と分かります.
すなわち,y=f(x) と y=x との交点を通る x軸に平行な直線を引き,その直線と y=f(x) との交点の個数を数えれば良いのです.
これは多重に合成した関数でも y=x を利用してグラフから極限を求める様な要領で使えるかも知れません.


[2] f(f(x))=x の解の個数
f(x)=y と置くと,f(y)=x ⋀ f(x)=y. これらは y=x に関して対称.
例えば,f(x)=x3-3x の場合,
x3-3x_x_y3-3x.png
y=x 上に無い交点(a, b) が有れば,(b, a) も交点です.

ここで気を付けたいのは逆関数と言う言葉を使っては行けないと言う事です.逆関数は x と y が 1対1対応の時だけ定義されるので 0点にされても文句は言えません.

凹凸が微妙な場合は数式から考察する事に成るのですが,和差算を上手く使い同値変形して行きましょう.

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そもそもネット接続自体減らして行く事になりますが...

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