見掛け上の次数を上げて割る?

(※ 挙げた後に気付いたのですが,i は虚数単位で使っているので添え字には違う文字を使用した方が良いと思います.)
東大の古ーい問題で,
 x10 を x4+x3+x2+x+1 で割った余りを求めよ.S31(1956)1次(理科)解析I第1問
と言う問題が出て来るのですが,暗算でも答えが出せるかと思います.
(x-1)(x4+x3+x2+x+1) = x5-1 = 0 (2つ目のイコールは「と置く」と言う意味で書いていたのだと思う) から,x10 = (x5)2 = (1)2 = 1 です.ですが見掛け上次数が上がって変な感じがする? 気もするので少し解きほぐして見ようと思います.
x5-1_2.jpg
最後は剰余の定理ですね.

尚,xm-k で割った余りは xm を kで置き換えれば良い.xm+k で割った余りは,xm を -k で置き換えれば良いです.何故か聖文新社の 50ヵ年ではこの知識を使っていませんでした (古過ぎる為,改訂版では問題自体も削除).ですからこの置き換え法を知らない方もおられるかと思いましたので敢えて述べさせて頂きました.まあこの程度の問題はどうとでも成るのですが.

京大にも似た様な問題が有って,H15(2003)理系前期第4問,
 (x100+1)100+(x2+1)100+1 は,x2+x+1 で割り切れるか.
ω を代入して計算すると,= 0 に成り,(与式) = 0 は実係数方程式だから,ωバーも解に持つから因数定理から割り切れる,が答えなのですが,ωn は周期 3 で変化します.ω100 = (ω3)33ω としても良いのですが,3 で割った余りは各位の和を mod 3 で見た時と 1致するので,100 ≡ 1+0+0 ≡ 1 (mod 3) と見ると速いです.

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Re: 記事を書いた時は多分このように考えていました

本に載っている解答の方法はそれですね.


この記事を書いた時の気分を話すと, 何か大数系の本で類題があって, そこでは剰余の定理をフルに活用していて,
値をこの問題で例えると, 「x^4+x^3+x^2+x+1 で割った余りだから, x^5 を 1 で書き換えて・・・」とあり, 何で割る式の次数が上がっているのか? 何で 1 で置き換えてよいのか? x^4+x^3+x^2+x+1 で割った余りで剰余の定理使うにしても 1^4+1^3+1^2+1+1≠0 だし, ・・・とか記事を書いた当初, いや, それ以前のはるか昔の初見の時に疑問に思ってしまったことがあって, それからしばらく経って東大の問題で本問題に出会った(これもだいぶ昔)から, weblog更新のモチベが上がった時に ついでに weblog記事に書いておくかという感じでした.

No title

x^10=(x^5+1)(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)+1なので1の5乗根持ち出すまでもないです。
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そもそもネット接続自体減らして行く事になりますが...

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