2回回転した立体の求積の考え方

z軸まわりに回転し,更に,x or y軸まわりに回転した立体の求積問題の考え方です.

rot1.jpg
これは昔の本では公式扱いされていました.

rot2.jpg
2回回転して出来た立体は陽関数や陰関数等の形で求まる訳では無い事を理解して下さい.求めるのは体積で有って,立体その物では無いのです.

このタイプの問題は,2017年度の東大理系数学第6問(2) です.類題としては,2013年阪大理系数学前期第4問や 2006年度東大理系数学後期第2問に有るには有るのですが,阪大のは問題文に「円すい」とネタバレしてしまっているから考え易い.2017年度の東大は Q を (1) の点に固定して z軸, x軸の順に回して行けば簡単ですが,それに気付かないと難しい.円錐を回した物だと言う事に気付いても底が無い円錐です.実は底が無い円錐でも,少し考えれば極座標の積分公式:
∫∫∫r2sinθdrdrdθdφ が使える事が分かると思います.
ですが,単純に上の様に定石化しておいた方が良かったかも知れません.

それと,
rot3.jpg
この様に連立した方が考え易いと思います.(2015年度東工大数学第3問)

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