平方数進法の全単射性の超簡単な示し方

1994年度東工大数学前期第4問,2008年度早大理工2/16実施第2問の問題です.
heho1.jpg
原題は無視して,f(m,n) の全単射性,すなわち f(m,n) が任意の自然数を 1意的に表せる事を示します.
東工大の方:
heho2.jpg
ここまでの前半部分で全射性を示しました.1意性も示されている様な気がし無い訳でも無いですが,後半部分も丁寧に書いて 1意性を示します.
heho3.jpg
1意性,すなわち単射性を考える時は,対偶を考えるのがセオリーです.余り大学入試用の問題集ではまとめとして強調されてい無い様な気がしますが,この単射性の証明は旧新数演等には数題見掛けたので入試でもちょくちょく出題されている様です.ハイ,単射性と来たら対偶です.

早大の方:
殆どコピペなので挙げなくても良かった様な気もしますが,せっかく原稿を作ってしまったので,続きを読むをクリックして読んで見て下さい.
式番号は新たに付け直して行きます.
全射性
heho4.jpg
単射性
heho5.jpg

掌握 (青) に誘導に乗った解答が載っていますが,誘導に乗ら無い方が簡単ですね.自分の中では誘導が邪魔な問題ナンバーワンでは無いかと思います.

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