通過領域で最も難しい問題 (2000年度上智大入試数学)

まずタイトルに最も難しいと付けましたが,最も難しい物の内の 1つと言う意味で使いました.
通過領域でどの問題が最も難しいか,人によって意見が違うと思います.'88東大理系3 だと言う人もいれば,'94東大理系6 だと言う人もいるでしょう.
この上智大の問題は数多くの数式を並列的に考え無ければ成らない所と (3) で単射とは何かをしっかり理解してい無いと完答不可能な所に難しさが有ると思います.大数難易度では,D***** です.

jochi1.jpg

(1) ですが,変換前fix の方が楽です.ですが,ここでは変換後fix で解いて見ます.気が付かないと変換後 fix で解くしか有りません.
jochi2.jpg
最後の図示では誤解の余地が無い様に境界は点線で描くべきだったかも知れません.
通過領域の問題を数多く解いていると,この (1) は手が勝手に動いて,変換後fix で解いてしまうと思います.この問題で難しいのは場合分け時に無造作に等号を含めては行けない所です.最後の図示も境界含む所と含ま無い所としっかり区別して置か無ければ成りません.
尚,放物線の対称性から場合 ii) と iii) を 1つにまとめてしまっても O.K. だと思います.

jochi3.jpg
答案始めの領域B はベクトルでも図形と方程式でもどちらでも良いでしょう.
(2) の落とし穴としては,求めた P(x, y) に対して,P ∊ A を忘れがちな所だと思います.Q ∊ B はそもそもの立式自体で使っているので忘れる事は無いでしょう.

さて,(3).単射と成る条件を求めるのでまずは対偶を考えて見ます.
jochi4.jpg
(s, t) = (s', t') と成る条件から,(x', y') の値が 2つ出て来ました.つまりこれは (s, t) に写される原像がこの 2点だと言う事です.それで単射と成る為には,2つの (x', y') 値が 1致しているか,1方の (x', y') 値が A から外れていれば O.K. という事に成ります.
jochi5.jpg
これは,A 内の異なる 2つの値から同一の点 (s, t) へと写像されるので,単射では有りません.従って不適です.

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