フェルマーの小定理・オイラーの定理の運用に当たり...

フェルマーの小定理ですが,私は 3通りを問題に応じて使い分けます.
まず,p は prime number の p なので素数です.
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a は任意の自然数で成り立ちます.が,0 でも成り立ちます.負の整数ではどうかと言うと p が奇素数なら成り立ちます.多くの文献では自然数と成っているし,下手な事は言え無いので 1応自然数と言う事で話を進めて行きますが,2009年度東大数学文系第2問理系第1問の (3) で 0 でも成り立つ事を言って置くと役に立ったりします.

上の式は,任意の a で成り立つのですが,a と p が互いに素の時に限り,
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と,
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が成り立ちます.数論の問題ではこちらの方を多用します.1 に成った方が何かと便利ですよね.
但し,初めの内は p-1 にうっかり p を代入してしまう間違いをする事が有るので気を付けましょう.

実際の問題で良く使う論法を幾つか紹介しましょう.
p が奇素数の時,p-1 は偶数だから,
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例えば,
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これから立方数は mod 7 で見ると,0 か ±1 の値しか取れ無いので,立方数かどうかを判別したい場合,素因数が 3 の倍数かを見る他に,mod 7 で見ると言うのが 1つの手と成ります.

他の例,
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gcd と付ける所の証明は今回は省かさせて頂きますが感覚としては分かると思います.逆は少し考えれば成り立つのは分かりますよね.

又他の例,
p が奇素数の時
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フェルマーの小定理は単項式の時しか使え無いか言われると,そう言う訳でも無くて,
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合同式の性質を考えれば,当たり前だと思います.
a ≡ b, c ≡ d ⇒ a + c ≡ b + d なので各々 p-1 乗してから足せば良いですね.
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にも注意して置きましょう.



初心者がフェルマーの小定理と混同し易いのがオイラーの定理で,
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これは,a と n が互いに素の時しか成り立ちません.

φ(n) はオイラー関数と言って,n 以下の自然数の内,互いに素な物の個数なのですが,まず直接数える時,1 はカウントします.1 は任意の自然数と互いに素だからです.

オイラー関数の性質としては,乗法的関数で有る事.
euler3.jpg

オイラー関数の値を計算する時は,
euler2.jpg
を利用します.指数 qi が幾つで有っても計算式は 1乗です.

特に,
euler4.jpg
です.これより,フェルマーの小定理はオイラーの定理の特別な場合なのですが,区別して置いた方が圧倒的に便利です.

具体的な数値例で良く使うのが,
euler5.jpg
です.


フェルマーの小定理は,「しょうていり」と読むのですが,これも小人の「こ」から「こていり」と読んで「こていり派は賢いなあ」と言われる可能性が微レ存?

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そもそもネット接続自体減らして行く事になりますが...

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