∫ sec^m x tanⁿ x dx, ∫ csc^m x cotⁿ x dx

intsecmtann1.jpg
この積分は,
intsecmtann2.jpg
を利用するのだろうと予想は出来ますが,
intsecmtann3.jpg
指数を 1 つずつ動かせる訳では無いので m, n の偶奇に応じてどうするかをしっかりまとめて置か無ければ成りません.

又やっていく内に分かるのですが試験として出されるので有れば,指数 m, n はそこそこの値での出題かもしくは 1 般の文字で途中までの計算かのどちらかでの出題しかされ無いだろうと思います ( (u2±1) のべきの展開が大変だから).(日本の教育課程だと割 3 角関数をやら無いから出題率は更に下がる)

i) m が偶数の時,
n の奇偶に関わらず,
intsecmtann4.jpg

ii) m, n が共に奇数の時,
intsecmtann5.jpg

iii) m が奇数, n が偶数の時,
intsecmtann6.jpg
sec を全部展開すれば,∫ secⁿ x dx に帰着されます.
(改めて指数を n と置き直す)
intsecmtann7.jpg
因みに積分漸化式の事を英語では reduction formula と言うそうです.


intsecmtann8.jpg
こちらも同様
intsecmtann9.jpg
intsecmtann10.jpg

i) m が偶数の時,
n の偶奇に関わらず,
intsecmtann11.jpg

ii) m, n が共に奇数の時,
intsecmtann12.jpg

iii) m が奇数, n が偶数の時,
intsecmtann13.jpg
やはり,∫ cscⁿ x dx に帰着されて,
(指数は新たに n と置き直して)
intsecmtann14.jpg

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